Eindeutigkeit, Picard-Lindelöf < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 17.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n [/mm] und f: G [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] eine stetige FUnktion, die lokal einer lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Seien [mm] \psi, \phi: [/mm] I [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] zwei Lösungen der Differentialgleichung y'(t)=f(x,y) über [mm] I\subseteq \mathbb{R}
[/mm]
Gilt [mm] \phi(x_0)=\psi(x_0) [/mm] für ein [mm] x_0 \in [/mm] I
[mm] \Rightarrow \phi(x)=\psi(x) \forall x\in [/mm] I |
Hallo,
Der Beweis ist an zwei Stellen unklar!
Im Skript steht (Heuser Analysis 2, S.152):
Behauptung 1: Sei [mm] \phi(a)=\psi(a) [/mm] für a [mm] \in [/mm] I so [mm] \exists \epsilon: \phi(x)=\psi(x) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I mit [mm] |x-a|<\epsilon.
[/mm]
Die Differentialgleichung mit Anfangsbedingung ist äquivalent zu
[mm] \phi(x) [/mm] - [mm] \psi(x)= \int_a^x (f(t,\phi(t))-f(t, \psi(t))) [/mm] dt
Da f lokal einer Lipschitzbedingung genügt: [mm] \exists [/mm] L>0, [mm] \delta>0:
[/mm]
||f(t, [mm] \phi(t))- [/mm] f(t, [mm] \psi(t))|| \le [/mm] L [mm] ||\phi(t) [/mm] - [mm] \psi(t)||
[/mm]
[mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I [mm] \cap B_{\delta} (a)=\{t \in I: |t-a|<\delta\}
[/mm]
> Hier verstehe ich nicht, wieso ich die Umgebung genau so wählen kann. Wenn ich einen Punkt (a,i) [mm] \in [/mm] G habe dann weiß ich doch nur dass die Lipschitzbedingung für eine Umgebung U(a,i) um (a,i) [mm] \in [/mm] G gilt. Aber wieso gibt es kein Intervall für die zweite Komponente i [mm] \in \mathbb{R}^n?
[/mm]
Wir können annehmen, dass [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] in I [mm] \cap B_{\delta} [/mm] (a) beschränkt sind.
> Warum können wir das annehmen? Als Lösungen der Differentialgleichung sind sie stetige Funktionen (als differenzierbare Funktionen), aber wieso ist I [mm] \cap B_{\delta} [/mm] (a) kompakt?
Sei M:= [mm] sup\{||\phi(t) - \psi(t)||: t \in I \cap B_{\delta} (a) \}
[/mm]
[mm] \epsilon [/mm] := min [mm] \{\delta, \frac{1}{2L}\}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I [mm] \cap B_{\delta} [/mm] (a) folt [mm] ||\psi(x) [/mm] - [mm] \psi(x)||\le [/mm] L [mm] \int_a^x ||\phi(t) [/mm] - [mm] \psi(t)|| [/mm] dt| [mm] \le [/mm] L |x-a| M < L [mm] \epsilon [/mm] M [mm] \le \frac{1}{2} [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \le \frac{1}{2} [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] M=0 [mm] \Rightarrow \phi(t)=\psi(t) \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I [mm] \cap B_{\delta} [/mm] (a)
Daraus dann die Behauptung im Satz zu folgen hab ich verstanden und führe ich deshalb hier nicht aus.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Zunächst sollten wir klären, was "lokale Lipschirtbedingung" bedeutet. Nämlich das:
Zu jedem [mm] $(t_0,y_0) \in [/mm] G$ existiert eine Umgebung [mm] $U=U(t_0,y_0)$ [/mm] von [mm] (t_0,y_0) [/mm] und eine Konstante [mm] L=L(t_0,y_0) \ge [/mm] 0 mit
(*) $||f(t,y)-f(t,z)|| [mm] \le [/mm] L||y-z||$ für alle $(t,y),(t,z) [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] U$.
Zu Deiner Frage: Wir setzen [mm] t_0:=a [/mm] und [mm] $y_0:=\phi [/mm] (a) (= [mm] \psi [/mm] (a)).$ U und L seien nun wie oben. [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] sind stetig auf I , also auch in [mm] t_0. [/mm] Somit gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
[mm] $(t,\phi [/mm] (t)), (t, [mm] \psi [/mm] (t)) [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] U$ für alle t [mm] \in [/mm] I mit |t-a| < [mm] \delta.
[/mm]
Aus (*) folgt dann:
$||f(t, [mm] \phi(t))- [/mm] f(t, [mm] \psi(t))|| \le [/mm] L [mm] ||\phi(t) [/mm] - [mm] \psi(t)|| [/mm] $ für alle t [mm] \in [/mm] I mit |t-a| < [mm] \delta.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:57 Fr 19.02.2016 | | Autor: | sissile |
Danke für die Erklärung!!
Kannst du noch auf meine zweite Frage im ersten Post eingehen: Warum können wir annehmen, dass $ [mm] \phi [/mm] $ und $ [mm] \psi [/mm] $ in I $ [mm] \cap B_{\delta} [/mm] $ (a) beschränkt sind? Also warum ist I [mm] \cap B_{\delta} [/mm] (a) kompakt?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 21.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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