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| Aufgabe | (a) Sei f : RxR \ 0 -> R, (x,y)-> [mm] 3y^{2/3}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Dgl y'=f(x,y)
eindeutige Losungen besitzt.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion
u : R -> R; u(x) = [mm] x^{3} [/mm] eine Losung des AWP's
y' = [mm] 3y^{2/3}; [/mm] y(0) = 0 ist.
(c) Bestimmen Sie eine weitere Losung v : R -> R des gegebenen AWP's, die nicht fur alle x [mm] \in [/mm] R mit u ubereinstimmt. Warum ist dies kein Wiederspruch zu der Eindeutigkeit? |
Ok. Also fangen wir mal mit Teil a) an. Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich das mit Picard-Lindelöf zeigen. Und zwar muss ich zeigen dass f(x) lokal einer Lipschitz Bedingung genügt. Also:
[mm] \bruch{ \parallel 3*(y^{2/3}-y'^{2/3}) \parallel }{ \parallel y-y' \parallel } \le [/mm] L
Kann ich dann einfach sagen solange y [mm] \in [/mm] [0,1] ist genügt L=3 als Lippschitz-konstante ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Mi 13.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf L=3 etwa in der Nähe von 0
sieh dir mal die Ableitung an!
oben ist doch wohl 0 ausgeschlossen, oder was soll die 0 hinter dem R?
Gruss leduart
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Ja, Verzeihung hatte hier Probleme mit dem \ da der normalerweise den Anfang von Befehlen hier im FOrum kennzeichnet. Die Ableitung ist f'(x)= [mm] \bruch{2}{ \wurzel[3]{y}} [/mm] . Aber iwe hilft mir das weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mi 13.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> (a) Sei f : [mm]RxR\{0}[/mm] -> R, (x,y)-> [mm]3y^{2/3}.[/mm] Zeigen Sie,
> dass die Dgl y'=f(x,y)
> eindeutige Losungen besitzt.
> (b) Zeigen Sie, dass die Funktion
> u : R -> R; u(x) = [mm]x^{3}[/mm] eine Losung des AWP's
> y' = [mm]3y^{2/3};[/mm] y(0) = 0 ist.
> (c) Bestimmen Sie eine weitere Losung v : R -> R des
> gegebenen AWP's, die nicht fur alle x [mm]\in[/mm] R mit u
> ubereinstimmt. Warum ist dies kein Wiederspruch zu der
> Eindeutigkeit?
Hier stimmt doch gewaltig etwas nicht !
zu a): Für jedes c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] y(x):=(x+c)^3 [/mm] eine Lösung der DGL.
Was soll denn "eindeutige Lödsungen besitzt " bedeuten ???
zu b): f ist auf [mm] $\IR \times \IR \setminus \{0\}$ [/mm] definiert, es ist also y [mm] \ne [/mm] 0. Dann macht die Anfangsbedingung y(0)=0 keinen Sinn !
zu c): Das AWP ist nicht eindeutig lösbar: y=0 ist ebenso eine Lösung.
FRED
>
>
> Ok. Also fangen wir mal mit Teil a) an. Wenn ich das
> richtig verstanden habe muss ich das mit Picard-Lindelöf
> zeigen. Und zwar muss ich zeigen dass f(x) lokal einer
> Lipschitz Bedingung genügt. Also:
> [mm]\bruch{ \parallel 3*(y^{2/3}-y'^{2/3}) \parallel }{ \parallel y-y' \parallel } \le[/mm]
> L
> Kann ich dann einfach sagen solange y [mm]\in[/mm] [0,1] ist
> genügt L=3 als Lippschitz-konstante ?
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Ich weiß mich verwirrt es auch, dass zuerst nach der Eindeutigkeit gefragt wird und später dann nach einer weiteren Lösung. Aber ich habe die Aufgabenstellung wörtlich abgeschrieben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Mi 13.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Zeigen Sie, dass die Dgl y'=f(x,y) eindeutige Losungen besitzt."
soll vielleicht heissen: es gibt Anfangswerte, für die die Dgl eindeutige Lösungen besitzt.
dann musst du sagen welche! und warum. [mm] y(x_1)=0 [/mm] gehört sicher nicht dazu!
2. wenn eine Ableitung gegen [mm] \infty [/mm] geht, kannst du sicher keine endliches L finden!!
Gruss leduart
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
