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| Aufgabe | Zeigen sie das die folgenden AWP genau eine Lösung besitzen:
a) [mm] u'(t)=e^{t}\cdot u(t)-u^3(t)\quad [/mm] u(0)=0
b) [mm] u'(t)=t*u(t)\quad [/mm] u(0)=1
Hinweise: Sie müssen die Lösung nicht explizit berechnen. |
Hi, also ich habe so den Verdacht, das das total simpel ist aber ich steh einfach mal wieder total auf dem Schlauch. Was mich besonders verwirrt, ist wie ich denn überprüfen soll ob es Konstanten gibt ohne die eigentliche Funktion zu berechnen.
In der Vorlesung haben wir den Satz von Picard-Lindeloef behandelt und zudem natürlich auch Lipschitzstetigkeit.
Danach ist es wie folgt bei uns gegliedert.
Es seien [mm] t_0; u_0 \in \IR [/mm] gegeben und [mm] f:Q\rightarrow \IR [/mm] sei stetig auf dem abgeschlossenem Rechteck [mm] Q:=I\times [/mm] J [mm] \subset \IR^2 [/mm] mit [mm] t_0 [/mm] ∈ I:=[a;b] für a<b und [mm] J:=[u_{0}-R;u_0+R] [/mm] (R>0). Ferner gebe es Konstanten M≥0 und L ≥ 0 so dass gilt:
(S) |f(t,u)| [mm] \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] (t,u) [mm] \in [/mm] Q
(L) [mm] |f(t,u_1)-f(t,u_2)|\le [/mm] L [mm] |u_1-u_2| \forall t\in [/mm] I, [mm] u_1,u_2 \in [/mm] J.
Ist dann [mm] t_0 \in [t_1,t_2] \subset [/mm] I für [mm] t_1
(K) [mm] (t_2-t_1)M \le [/mm] R
so gibt es genau eine stetig differenzierbare Funktion u:[t1,t2] [mm] \rightarrow [/mm] J.
u'(t)=f(t,u(t)) [mm] (t\in[t_1,t_2])
[/mm]
Ich muss ja zugeben, dass sieht schwer nach nem Kochrezept aus. S zeigen L zeigen K zeigen fertig. Aber irgendwie finde ich so manchen mathematischen Satz doch sehr sperrig.
(S) Echt keine Ahnung... aus der Aufgabe ergibt sich ja kein Intervall auf dem ich das prüfen könnte. Einzig ein Punkt ist mir gegeben. Reicht es zu zeigen, dass die Funktion um diesen Punkt stetig ist?
Eigentlich müsste ich doch zumindest irgendwie die Umgebung betrachten oder?
Ich versuchs ma:
[mm] |f(t,u)|=|e^t*u(t)-u^3(t)|
[/mm]
[mm] |e^t*u(t)-u^3(t)|\le [/mm] M um den Punkt u(0)=0
[mm] |e^0\cdot (0+R)-(0+R)|\le [/mm] M
[mm] |R-R|\le [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] existiert
Gleiches nochmal mit -R führt zu gleichem Ergebnis.
Stetigkeit gezeigt? ;)
(L)
Hier bin ich mir nicht so ganz sicher, was [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind... belibige von mir gewählte Funktionswerte? Allerdings sind [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] nach dem Satz [mm] \in [/mm] J heißt also wieder [mm] AW\pm [/mm] R?
Ich mach ma wie ichs verstanden habe:
[mm] |(e^0*(0-R)-(0-R))-(e^0*(0+R)-(0+R))|\le [/mm] L|(0-R)-(0+R)|
[mm] |0|\le [/mm] L|-2R| [mm] \rightarrow [/mm] da Betrag von -2R und R>0 existiert eine Konstante L
(K) großes ?... was ist [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] ;)?
Ganz großes Danke schon mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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