Eindeutige lokale Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i)
Jedes der (2-dimensionalen) Anfangswertprobleme
[mm] y_1'=|y_2|, y_2'=|y_1|, (y_1(t_0),y_2(t_0))=(w_1,w_2) \in \IR^2
[/mm]
besitzt eine eindeutige lokale Lösung.
(ii)
Jedes der Anfangswertprobleme
[mm] y'=\sin(tx), y(t_0)=y_0 \in \IR
[/mm]
besitzt eine eindeutige Lösung auf ganz [mm] \IR. [/mm] |
Mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht.
Für (i) benötigt man sicherlich den Satz von Picard-Lindelöf über die lokale Eindeutigkeit eines Anfangswertproblems, aber das "2-dimensional" bringt mich irgendwie völlig durcheinander.
Für (ii) habe ich keine Idee, wie man zeigen kann, dass eine eindeutige Lösung auf ganz [mm] \IR [/mm] vorliegt.
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen kann!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> (i)
>
> Jedes der (2-dimensionalen) Anfangswertprobleme
> [mm]y_1'=|y_2|, y_2'=|y_1|, (y_1(t_0),y_2(t_0))=(w_1,w_2) \in \IR^2[/mm]
>
> besitzt eine eindeutige lokale Lösung.
>
>
> (ii)
>
> Jedes der Anfangswertprobleme
> [mm]y'=\sin(tx), y(t_0)=y_0 \in \IR[/mm]
> besitzt eine eindeutige
> Lösung auf ganz [mm]\IR.[/mm]
> Mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht.
>
> Für (i) benötigt man sicherlich den Satz von
> Picard-Lindelöf über die lokale Eindeutigkeit eines
> Anfangswertproblems, aber das "2-dimensional" bringt mich
> irgendwie völlig durcheinander.
Setze [mm] y:=\vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] und f(x,y)= [mm] \vektor{|y_2| \\ |y_1|}.
[/mm]
Dann lautet Dein AWP: y'=f(x,y), [mm] y(t_0)= (w_1,w_2)
[/mm]
Zeigen mußt Du nun: f genügt eine lokalen Lipschitzbedingung bezüglich y.
>
> Für (ii) habe ich keine Idee, wie man zeigen kann, dass
> eine eindeutige Lösung auf ganz [mm]\IR[/mm] vorliegt.
Das kannst Du doch zu Fuß machen !
Fall 1: t=0, also y' =0 : dann ist y(x) =c (also konstant) : Es soll gelten
[mm] y(t_0)=y_0, [/mm]
somit ist y(x)= [mm] y_0
[/mm]
Fall 2: t [mm] \ne [/mm] 0. Das machst Du jetzt
FRED
>
>
> Es wäre toll, wenn mir jemand helfen kann!
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zu (i):
Ich muss zeigen, dass f eine lokale Lipschitzbedingung bezüglich y erfüllt. |
Sei also [mm] y:=\vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] sowie [mm] f(t,y):=\vektor{|y_1| \\ |y_2|}.
[/mm]
Ich schaue mir die Definition für die Erfüllung einer lokalen Lipschitzbedingung an:
"f erfüllt eine lokale Lipschitzbedingung bezüglich y: [mm] \gdw [/mm] für alle (t,y) [mm] \in [/mm] G (Definitionsbereich von f) ex. eine Umgebung U mit: f erfüllt eine Lipschitzbedingung bzgl. y."
Dass f eine Lipschitzbedingung bzgl. y erfüllt, ist wiederum folgendermaßen definiert:
"f erfüllt eine Lipschitzbedingung bzgl. y: [mm] \gdw [/mm] Es ex. ein [mm] L\ge [/mm] 0 bel., sodass [mm] ||f(t,u)-f(t,v)||_2 \le L*||u-v||_2 [/mm] für alle (t,u),(t,v) [mm] \in [/mm] G."
Nun mein Ansatz.
Ich dachte mir, ich beginne nun einfach mal so:
[mm] ||f(t,y)-f(t,v)||_2=||\vektor{|y_1| \\ |y_2|}-\vektor{|v_1| \\ |v_2|}||_2
[/mm]
Aber wie gehts es nur weiter?!
Kann man vielleicht einfach eine Epsilon-Kugel um z.B. einen der Vektoren legen und dann sagen, dass der Abstand zwischen einem anderen Vektor und diesem Vektor kleiner/ gleich Epsilon ist? Und dann L gleich Epsilon setzen?... Hätte man dann nicht eine Umgebung in der die Lipschitzbedingung erfüllt ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Folgt wegen der Dreiecksungleichung vllt.:
[mm] ||f(t,y)-f(t,v)||_2=||\vektor{|y_1| \\ |y_2|}-\vektor{|v_1| \\ |v_2|}||_2 \le ||\vektor{|y_1| \\ |y_2|}||_2 [/mm] + [mm] ||\vektor{|v_1| \\ |v_2|}||_2?
[/mm]
Das ist nur so eine Idee.
Ich weiß nicht wirklich, ob das überhaupt etwas mit der Aufgabe zu tun hat...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Sei für alle (t,y) eine Umgebung wie folgt definiert:
[mm] B_\delta((t,y)):=\{(t,x):||(t,x)-(t,y)||_2\le \delta\}.
[/mm]
[mm] ||f(t,y)-f(t,x)||_2=||\vektor{|y_1| \\ |y_2|}-\vektor{|x_1| \\ |x_2|}||_2 \le \delta [/mm] * [mm] \underbrace{||\vektor{y_1 \\ y_2}-\vektor{x_1 \\ x_2}||_2}_{\ge 0}
[/mm]
[mm] L:=\delta.
[/mm]
So, jetzt probiere ich nicht mehr. Es scheint nur Blödsinn dabei herauszukommen.
Ich weiß nicht weiter und warte nun auf Ideen. :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Es ist zwar bestimmt nicht gern gesehen, wenn man hier "bettelt". Aber ich brauche die Lösung sehr, sehr dringend.
Bitte: Kann mir jemand helfen??
(Ich bin sonst geduldiger!  )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Mo 15.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Keine Reaktionen? Schade!
(Aber vielleicht findet sich ja noch ein kluger und hilfsbereiter Kopf.) :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:33 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] $||\vektor{|y_1| \\ |y_2|}-\vektor{|v_1| \\ |v_2|}||_2^2= ||y_1|-|v_1| |^2+ ||y_2|-|v_2| |^2 \le |y_1-v_1|^2+|y_2-v_2|^2= ||y-v||_2^2$
[/mm]
Damit erfüllt f sogar eine globale Lipschitzbed.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:38 Mo 15.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Oh, dankesehr!!
Jetzt muss ich das nur noch verstehen, aber damit beschäftige ich mich lieber nachmittags.
(Jetzt kann ich ja doch noch etwas dazu abgeben, danke!)
|
|
|
|
