Eindeutige Lösung einer Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Fr 29.08.2014 | | Autor: | Roccoco |
| Aufgabe | | Überprüfe [mm] u'=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}} [/mm] in I=(0,1) auf eindeutige Lösbarkeit |
Hallo!
Ich bereite mich derzeit auf meine Examensprüfung vor und habe oben genannte frage
Zunächst muss ich dafür Licpschitzstetigkeit nachprüfen
Dafür habe ich folgende Abschätzung gemacht und wollte gerne wissen, ob das so geht?
[mm] |\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\wurzel{1+u^2}-\wurzel{1+z^2}|\le|\bruch{1}{x}|L|u-z| [/mm] mit einer geigneten Lipschitzkonstanten L.
Anders kann man auch sagen, dass f partiell nach u ableitbar ist mit [mm] |f_u(x,u)|\le [/mm] L
Wie kann ich das hier zeigen? Nur für u=+i oder u=-1 gäbe es Probleme mit der Ableitung. Reicht das? Wie gehe ich damit um?
Über Anregungen und Antworten wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße
Roccoco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 29.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Überprüfe [mm]u'=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}[/mm] in I=(0,1) auf
> eindeutige Lösbarkeit
> Hallo!
> Ich bereite mich derzeit auf meine Examensprüfung vor und
> habe oben genannte frage
> Zunächst muss ich dafür Licpschitzstetigkeit
> nachprüfen
>
> Dafür habe ich folgende Abschätzung gemacht und wollte
> gerne wissen, ob das so geht?
> [mm]|\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\wurzel{1+u^2}-\wurzel{1+z^2}|\le|\bruch{1}{x}|L|u-z|[/mm]
> mit einer geigneten Lipschitzkonstanten L.
Die Abschaetzungen sind in Ordnung, aber: kannst Du sie auch begruenden?
>
> Anders kann man auch sagen, dass f partiell nach u
> ableitbar ist mit [mm]|f_u(x,u)|\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L
> Wie kann ich das hier zeigen?
Vermutlich ist das fuer einen Nachweis von Lipschitzstetigkeit bequemer. Was kannst Du ueber die Funktion $u\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}$ aussagen? Wie lautet denn die Ableitung, die Du abschaetzen moechtest?
> Nur für u=+i oder u=-1
> gäbe es Probleme mit der Ableitung.
Aha. Das solltest Du Dir nocheinmal genau ueberlegen. Welche Probleme meinst Du ueberhaupt?
> Reicht das? Wie gehe
> ich damit um?
Wie soll man darauf antworten?
>
> Über Anregungen und Antworten wäre ich sehr dankbar!
Wie lautet denn ueberhaupt genau die Lipschitzbedingung aus dem Satz, den Du anwenden moechtest?
> Viele Grüße
> Roccoco
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 29.08.2014 | | Autor: | Roccoco |
Hallo Hippias!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Also ich beschränke mal den Lösungsweg auf das finden vom [mm] |f_u(x,u)| \le [/mm] L
[mm] (\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}})_u=-\bruch{u}{x\wurzel[3]{(u^2+1)^2}}
[/mm]
Ich habe mir die Ableitung gezeichnet und sehe zunächst, dass sie beschränkt ist. Wenn ich das rechnerisch nachprüfen will, reicht es dann maximum und minimum zu bestimmt?
Wenn ich die Ableitung an der Stelle i betrachte habe ich zunächst folgendes
[mm] lim_{u \to i} \bruch{\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+i^2}}}{u-i}
[/mm]
Mit Problemen meine ich, dass für u=i oder-i der Nenner zu Null wird.
Viele Grüße
Roccoco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 29.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Hippias!
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
> Also ich beschränke mal den Lösungsweg auf das finden vom
> [mm]|f_u(x,u)| \le[/mm] L
>
> [mm](\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}})_u=-\bruch{u}{x\wurzel[3]{(u^2+1)^2}}[/mm]
Das ist völlig falsch !
> Ich habe mir die Ableitung gezeichnet und sehe zunächst,
> dass sie beschränkt ist. Wenn ich das rechnerisch
> nachprüfen will, reicht es dann maximum und minimum zu
> bestimmt?
> Wenn ich die Ableitung an der Stelle i betrachte habe ich
> zunächst folgendes
> [mm]lim_{u \to i} \bruch{\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+i^2}}}{u-i}[/mm]
>
> Mit Problemen meine ich, dass für u=i oder-i der Nenner zu
> Null wird.
Was soll das ? Wir sind doch im Reellen !
Hast Du meine Antwort
https://matheraum.de/read?i=1033462
nicht gelesen ?
FRED
> Viele Grüße
> Roccoco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Fr 29.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfe [mm]u'=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}[/mm] in I=(0,1) auf
> eindeutige Lösbarkeit
> Hallo!
> Ich bereite mich derzeit auf meine Examensprüfung vor und
> habe oben genannte frage
> Zunächst muss ich dafür Licpschitzstetigkeit
> nachprüfen
>
> Dafür habe ich folgende Abschätzung gemacht und wollte
> gerne wissen, ob das so geht?
> [mm]|\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\wurzel{1+u^2}-\wurzel{1+z^2}|\le|\bruch{1}{x}|L|u-z|[/mm]
> mit einer geigneten Lipschitzkonstanten L.
Witzbold ! Und , wie fällt L aus ? (falls es überhaupt ein solches L gibt !)
Was nützt Dir obige Abschätzung ? Nix ! Denn ganz rechts kommt noch ein x vor ! Sei [mm] f(x,u):=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}} [/mm] für (x,u) [mm] \in [/mm] $D:=(0,1) [mm] \times \IR$
[/mm]
f genügt einer Lipschitzbedingung bezüglich der Var. u , wenn es ein L [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit
(*) |f(x,u)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] L|u-z| für alle (x,u), (x,z) [mm] \in [/mm] D.
Selbst wenn Du (*) gezeigt hättest, könntest Du den Satz von Picard-Lindelöf nicht anwenden, denn dieser Satz macht eine Aussage über Anfangswertprobleme. Eine Anfangsbedingung hast Du aber nicht gegegeben !
>
> Anders kann man auch sagen, dass f partiell nach u
> ableitbar ist mit [mm]|f_u(x,u)|\le[/mm] L
> Wie kann ich das hier zeigen?
Gleicher Kommentar wie oben.
> Nur für u=+i oder u=-1
> gäbe es Probleme mit der Ableitung.
Hä ? Von was sprichst Du ??
> Reicht das?
Für was ?
> Wie gehe
> ich damit um?
?????
Sei u:(0,1) [mm] \to \IR [/mm] eine Lösung der obigen DGL. Sei a [mm] \in [/mm] (0,1) fest und [mm] v_a:(0,1) \to \IR [/mm] def. durch
[mm] v_a(x):=u(ax).
[/mm]
Zeige: [mm] v_a [/mm] löst die obige DGL auf (0,1) ebenfalls.
Wäre nun die DGL eindeutig lösbar auf (0,1), so hätten wir
[mm] u(x)=v_a(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (0,1).
Da a [mm] \in [/mm] (0,1) beliebig war, bekommen wir:
u(x)=u(ax) für alle a,x [mm] \in [/mm] (0,1).
Aber das ist großer Unfug ! Warum ?
FRED
>
> Über Anregungen und Antworten wäre ich sehr dankbar!
> Viele Grüße
> Roccoco
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Fr 29.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Überprüfe [mm]u'=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}[/mm] in I=(0,1) auf
> eindeutige Lösbarkeit
> Hallo!
> Ich bereite mich derzeit auf meine Examensprüfung vor und
> habe oben genannte frage
> Zunächst muss ich dafür Licpschitzstetigkeit
> nachprüfen
>
Hallo,
kann man nicht einfach eine Trennung der Variablen machen und dann genauer unter die Lupe nehmen, was man dabei erhält?
So rein formal kommt man ja durch Umformen auf [mm]\wurzel{1+u^2}du= \frac{dx}{x}[/mm].
Gruß Abakus
> Dafür habe ich folgende Abschätzung gemacht und wollte
> gerne wissen, ob das so geht?
> [mm]|\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\wurzel{1+u^2}-\wurzel{1+z^2}|\le|\bruch{1}{x}|L|u-z|[/mm]
> mit einer geigneten Lipschitzkonstanten L.
>
> Anders kann man auch sagen, dass f partiell nach u
> ableitbar ist mit [mm]|f_u(x,u)|\le[/mm] L
> Wie kann ich das hier zeigen? Nur für u=+i oder u=-1
> gäbe es Probleme mit der Ableitung. Reicht das? Wie gehe
> ich damit um?
>
> Über Anregungen und Antworten wäre ich sehr dankbar!
> Viele Grüße
> Roccoco
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 29.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Überprüfe [mm]u'=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}[/mm] in I=(0,1) auf
> > eindeutige Lösbarkeit
> > Hallo!
> > Ich bereite mich derzeit auf meine Examensprüfung vor
> und
> > habe oben genannte frage
> > Zunächst muss ich dafür Licpschitzstetigkeit
> > nachprüfen
> >
> Hallo,
> kann man nicht einfach eine Trennung der Variablen machen
> und dann genauer unter die Lupe nehmen, was man dabei
> erhält?
> So rein formal kommt man ja durch Umformen
> auf [mm]\wurzel{1+u^2}du= \frac{dx}{x}[/mm].
Ja, mach mal und löse die ekelhafte Gleichung , die Du bekommst, nach u auf.
FRED
> Gruß Abakus
> > Dafür habe ich folgende Abschätzung gemacht und
> wollte
> > gerne wissen, ob das so geht?
> >
> [mm]|\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\wurzel{1+u^2}-\wurzel{1+z^2}|\le|\bruch{1}{x}|L|u-z|[/mm]
>
> > mit einer geigneten Lipschitzkonstanten L.
> >
> > Anders kann man auch sagen, dass f partiell nach u
> > ableitbar ist mit [mm]|f_u(x,u)|\le[/mm] L
> > Wie kann ich das hier zeigen? Nur für u=+i oder u=-1
> > gäbe es Probleme mit der Ableitung. Reicht das? Wie
> gehe
> > ich damit um?
> >
> > Über Anregungen und Antworten wäre ich sehr dankbar!
> > Viele Grüße
> > Roccoco
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Fr 29.08.2014 | | Autor: | abakus |
> > > Überprüfe [mm]u'=\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}[/mm] in I=(0,1) auf
> > > eindeutige Lösbarkeit
> > > Hallo!
> > > Ich bereite mich derzeit auf meine Examensprüfung
> vor
> > und
> > > habe oben genannte frage
> > > Zunächst muss ich dafür Licpschitzstetigkeit
> > > nachprüfen
> > >
> > Hallo,
> > kann man nicht einfach eine Trennung der Variablen
> machen
> > und dann genauer unter die Lupe nehmen, was man dabei
> > erhält?
> > So rein formal kommt man ja durch Umformen
> > auf [mm]\wurzel{1+u^2}du= \frac{dx}{x}[/mm].
>
>
> Ja, mach mal und löse die ekelhafte Gleichung , die Du
> bekommst, nach u auf.
>
> FRED
Oh ja, bereits die Stammfunktion ist hässlich.
Da löse ich mich lieber auf...
Bin dann mal weg...
und materialisiere mich wieder vor den Fernseher.
Gruß Abakus
> > Gruß Abakus
> > > Dafür habe ich folgende Abschätzung gemacht und
> > wollte
> > > gerne wissen, ob das so geht?
> > >
> > [mm]|\bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{x\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1+z^2}}|\le |\bruch{1}{x}||\wurzel{1+u^2}-\wurzel{1+z^2}|\le|\bruch{1}{x}|L|u-z|[/mm]
>
> >
> > > mit einer geigneten Lipschitzkonstanten L.
> > >
> > > Anders kann man auch sagen, dass f partiell nach u
> > > ableitbar ist mit [mm]|f_u(x,u)|\le[/mm] L
> > > Wie kann ich das hier zeigen? Nur für u=+i oder
> u=-1
> > > gäbe es Probleme mit der Ableitung. Reicht das? Wie
> > gehe
> > > ich damit um?
> > >
> > > Über Anregungen und Antworten wäre ich sehr
> dankbar!
> > > Viele Grüße
> > > Roccoco
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