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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 07.07.2011 | | Autor: | mathfrag |
| Aufgabe | | Lösen Sie die Dgl. xy´+y=x. Welche Anfangswertaufgaben y(a)=b sind (eindeutig) Lösbar? |
Wie bestimme ich die Eindeutigkeit einer Lösung?
Als Lösung für die Dgl erhalte ich
Y(X)= x/2+ c/|x|
In der Muster Lösung steht:
y(a)=b eindeutig Lösbar für alle (a,b) [mm] \in \IR^{2} [/mm] ausser für a=0, [mm] b\not=0
[/mm]
Wie muss vorgegangen werden um auf diese Lösung zu kommen?
Danke
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Hallo mathfrag,
> Lösen Sie die Dgl. xy´+y=x. Welche Anfangswertaufgaben
> y(a)=b sind (eindeutig) Lösbar?
> Wie bestimme ich die Eindeutigkeit einer Lösung?
>
> Als Lösung für die Dgl erhalte ich
>
> Y(X)= x/2+ c/|x|
Jo, bzw. [mm]\frac{x}{2}+\frac{c}{x}[/mm] mit passendem [mm]c[/mm]
>
> In der Muster Lösung steht:
>
> y(a)=b eindeutig Lösbar für alle (a,b) [mm]\in \IR^{2}[/mm] ausser
> für a=0, [mm]b\not=0[/mm]
Nun, alle Lösungen sind auf Intervallen definiert, die [mm]x=0[/mm] nicht enthalten, Division durch [mm]0[/mm] ist nicht erlaubt.
Damit fällt [mm]a=0[/mm] raus.
Also [mm]a<0[/mm] oder [mm]a>0[/mm]
Wieso aber nur [mm]b=0[/mm] in Frage kommt, kann ich nicht sagen.
Wenn du für [mm]a\neq 0[/mm] mal [mm]y(a)=b[/mm] berechnest, also [mm]\frac{a}{2}+\frac{c}{a}=b[/mm], so kann man das doch gefahrlos nach [mm]c[/mm] auflösen ...
[mm]c=\frac{1}{2}a\cdot{}(2b-a)[/mm] ...
Für [mm]b=0[/mm] hättest du dann [mm]c=-\frac{1}{2}a^2[/mm] und damit [mm]y=\frac{x}{2}-\frac{a^2}{2x}[/mm] und für [mm]b\neq 0[/mm] entsprechend ...
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich seh's gerade nicht, stelle die Frage also mal auf "teilweise beantwortet"
>
> Wie muss vorgegangen werden um auf diese Lösung zu
> kommen?
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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vielleicht muss c < 0 gelten ?!
wobei ich mir das auch nicht ganz erklären könnte. Hilft vielleicht jemanden...
LG Scherzkrapferl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Fr 08.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Die DGL hat die allgemeine Lösung
$y(x)= [mm] \frac{x}{2}+\frac{c}{x} [/mm] $ (c [mm] \in \IR)
[/mm]
Die Anfangsbedingung y(0)=b ist nur sinnvoll, wenn c = 0 ist.
Für c=0 lautet die Lösung der DGL: $y(x)= [mm] \frac{x}{2} [/mm] $ . Für diese Lösung ist y(0)=0.
Fazit: Das AWP
xy´+y=x, y(0)=b
ist unlösbar, falls b [mm] \ne [/mm] 0 ist.
FRED
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