Eindeutig Lösbares G-System? < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie an, ob das folgende Gleichungssystem
a. lösbar, aber nicht eindeutig lösbar ist,
b. eindeutig lösbar ist
c. nicht lösbar ist
1. [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] x = [mm] \vektor{1 \\ 9 \\ 0} [/mm] ..
2. [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] x = 0 |
Hallo,
ich bin mir garnicht sicher, wie ich entscheiden soll, wie und ob das lösbar ist..am besten ich löse das dafür mal auf..aber ich weiß garnicht wo ich anfangen soll...könnt ihr mir bitte mal einen anschubs geben?
viele grüße
informacao
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Sa 04.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin info!
aufgabe 1
das gleichungssystem hat beliebig viele lösungen
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 9 \\ 0 }
[/mm]
man kann bereits an dieser stelle sehen, dass das gleichungssystem unendlich viele lösungen hat, wegen der 3. Zeile in der nur nullen stehen.
wir formen trotzdem mal um und stellen die komplette dreiecksform her. dazu nehmen wir gleichung I mal -2 und rechnen anschließend gleichung II plus gleichung Ia:
[mm] \pmat{ -2 & -6 & -6 \\ 2 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 9 \\ 0 }
[/mm]
II+Ia
[mm] \pmat{ -2 & -6 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 7 \\ 0 }
[/mm]
bzw.
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ 0 }
[/mm]
in der dritten zeile habe ich
0*x + 0*y +0*z=0
dies ist (zb) für beliebige z erfüllt...
zweite zeile:
1*y + 3z = 7
y= 7 - 3z (III)
erste zeile:
1*x + 3y +3z = 1
ergebnis (III) einsetzen:
x + 3(7-3z) +3z = 1
x +21 -9z +3z = 1
x= -20 + 6z
wie gesagt z ist beliebig frei wählbar... d.h. es gibt unendlich viele lösungen.
aufgabe 2
ich gehe auch hier davon aus, dass das gleichungssystem beliebig viele lösungen besitzt.
allgemein gilt:
man bringt eine matrix zunächst auf die dreiecksform.
dann rechnet man die einzelnen variablen aus.
führt diese rechnung auf einen mathematischen widerspruch, hat das gleichungssystem keine lösung / ist nicht lösbar.
dies wäre hier der fall wenn die dritte zeile z.b. so aussehen würde:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{-2}
[/mm]
da es kein x bzw. y bzw. z gibt, für die diese gleichung erfüllt ist.
d.h 0*x + 0*y + 0*z = -2 => WIDERSPRUCH
eine eindeutige lösung hätte das gleichungssystem, wenn
x, y und z einen ganz bestimmten wert hätten. z.b.
x=1 und y=-2 und z = [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
alles klar?!
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi Hase,
danke für die Antwort. Ich rechne es nochmal nach, damit ich sicher bin, dass ich das verstehe  Aber so klingt es schon mal logisch!
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
|
