Einbettung von Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 02.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Zeige: Jede endliche Gruppe lässt sich in eine Gruppe [mm] A_{n} [/mm] einebetten.
[mm] (A_{n} [/mm] = Gruppe der geraden Permutationen in [mm] S_{n}) [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand einen Tipp zu obiger Aufgabe geben. Ich hab nämlich überhaupt keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll. Einbetten bedeutet ja, dass ich einen bijektiven Homomorphismus zwischen den Gruppen finde, oder?
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 02.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeige: Jede endliche Gruppe lässt sich in eine Gruppe [mm]A_{n}[/mm]
> einebetten.
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> [mm](A_{n}[/mm] = Gruppe der geraden Permutationen in [mm]S_{n})[/mm]
> Hallo!
>
> Kann mir jemand einen Tipp zu obiger Aufgabe geben. Ich hab
> nämlich überhaupt keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll.
> Einbetten bedeutet ja, dass ich einen bijektiven
> Homomorphismus zwischen den Gruppen finde, oder?
nein. du brauchst nur einen injektiven homomorphismus. du sollst hier zeigen, dass du jede gruppe endliche gruppe $G$ als unterguppe einer geeiegneten [mm] $A_n$ [/mm] auffassen kannst.
ich vermute schwer, dass in der vorlesung in letzter zeit der "satz von cayley" dran war, dass man nämlich jede endliche gruppe in eine [mm] $S_k$ [/mm] einbetten kann. wenn ihr das gehabt habt, so kannst du schonmal eine einbettung in eine [mm] $S_k$ [/mm] finden. das einzige was einen unter umständen noch stört ist, dass einzelne permutationen, die man als bild erhält "ungerade" sind. man kann sich jetzt aber überlegen, dass man dies hinbiegen kann, wenn man die [mm] $S_k$ [/mm] in die [mm] $A_n$ [/mm] für $n = k + 2$ einbettet, also die [mm] $S_k$ [/mm] soll einfach auf den $k$ ersten ziffern wirken und mit $k+1$ und $k + 2$ korregiert man die signatur, je nachdem ob die permutation aus der [mm] $S_k$ [/mm] gerade oder ungerade war.
probiere mal, ob du damit schon etwas hinbekommst.
grüße
andreas
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