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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Man zeige:
Die Abbildung [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ zwischen topologischen Räumen ist genau dann eine Einbettung, wenn f injektiv und stetig und für jedes offene [mm] $U\subseteq [/mm] X$ die Bildmenge $f(U)$ offen in $f(X)$ ist.
Dabei gilt:
Eine Abbildung [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ zwischen topologischen Räumen heißt Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) ist. |
Moin, ich hab für einen Beweis bis jetzt Folgendes überlegt:
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Sei f Homöomorphismus von X auf f(X).
Das bedeutet f ist bijektiv, stetig und [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist stetig.
Sei [mm] $U\subseteq [/mm] X$ offen. Da [mm] $f^{-1}:f(X)\to [/mm] X$ stetig ist, gilt für U, daß [mm] $f(U)\in\mathcal{O}_{f(X)}$, [/mm] wobei ich damit die auf f(X) von Y induzierte Topologie meine. Also ist f(U) offen in f(X).
Da [mm] $X\mapsto [/mm] f(X)$ ebenfalls stetig ist, bedeutet das doch , daß für jedes [mm] $O\in\mathcal{O}_{f(X)}$ [/mm] gilt, daß [mm] $f^{-1}(O)$ [/mm] offen in X ist. Da doch die offenen Mengen der Unterraumtopologie auf f(X) Schnitte von f(X) mit den offenen Mengen von Y sind, ist [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ auch stetig.
Die Injektivität bekomm ich grad nicht bewiesen und die Rückrichtung macht mir auch noch Probleme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige:
>
> Die Abbildung [mm]f\colon X\to Y[/mm] zwischen topologischen Räumen
> ist genau dann eine Einbettung, wenn f injektiv und stetig
> und für jedes offene [mm]U\subseteq X[/mm] die Bildmenge [mm]f(U)[/mm] offen
> in [mm]f(X)[/mm] ist.
>
>
> Dabei gilt:
>
> Eine Abbildung [mm]f\colon X\to Y[/mm] zwischen topologischen
> Räumen heißt Einbettung von X in Y, wenn f ein
> Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) ist.
>
> Moin, ich hab für einen Beweis bis jetzt Folgendes
> überlegt:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> Sei f Homöomorphismus von X auf f(X).
>
> Das bedeutet f ist bijektiv, stetig und [mm]f^{-1}[/mm] ist stetig.
Ja, das sind die Voraussetzungen.
>
>
> Sei [mm]U\subseteq X[/mm] offen. Da [mm]f^{-1}:f(X)\to X[/mm] stetig ist,
> gilt für U, daß [mm]f(U)\in\mathcal{O}_{f(X)}[/mm], wobei ich
> damit die auf f(X) von Y induzierte Topologie meine. Also
> ist f(U) offen in f(X).
Ja
>
>
> Da [mm]X\mapsto f(X)[/mm] ebenfalls stetig ist, bedeutet das doch ,
> daß für jedes [mm]O\in\mathcal{O}_{f(X)}[/mm] gilt, daß [mm]f^{-1}(O)[/mm]
> offen in X ist. Da doch die offenen Mengen der
> Unterraumtopologie auf f(X) Schnitte von f(X) mit den
> offenen Mengen von Y sind, ist [mm]f\colon X\to Y[/mm] auch stetig.
Wozu ? Du hast doch gezeigt, dass für jedes offene $ [mm] U\subseteq [/mm] X $ die Bildmenge f(U) offen in f(X) ist.
>
> Die Injektivität bekomm ich grad nicht bewiesen
Hä ? Eine der Vor. war doch die Bijektivität von f !!
> und die
> Rückrichtung macht mir auch noch Probleme.
Rückrichtung: Vor. : f ist injektiv und stetig und f(U) ist offen in f(X) für jedes in X offene U.
Du mußt doch nur nochzeigen, [mm] dassf^{-1}:f(X) \to [/mm] X stetig ist.
Sei also U offen in X . z.z. [mm] (f^{-1})^{-1}(U) [/mm] ist offen in f(X)...... das bekommst Du doch hin !
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:41 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Aber muss ich denn nicht jeweils unterscheiden zwischen
1. [mm] $f:X\to [/mm] Y$
2. [mm] $X\mapsto [/mm] f(X)$ ?
Wenn also die Voraussetzung ist, daß 2. ein Homöomorphismus ist, also bijektiv, stetig und Umkehrfunktion stetig, wieso kann ich dann für den Nachweis der Stetigkeit von 1. benutzen, daß die Bildmenge für jedes [mm] $U\subseteq [/mm] X$ offen in $f(X)$ ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Achso, da setzt man dann einfach $f(X)=Y$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 07.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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