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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Mi 27.04.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, eine Zahl der Form $11, 111, 1111, 11111, [mm] \ldots, [/mm] $ eine sogenannte Repunit, ist niemals Quadratzahl! |
Beweis:
[mm] $10^n+10^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 10^1 [/mm] + [mm] 10^0$ [/mm] ist ersichtlich eine geometrische Reihe. Damit ist klar, dass [mm] $S_n [/mm] = [mm] \frac{10^{n +1} -1}{9} [/mm] $
lauten muss.
Annahme, [mm] $S_n$ [/mm] wäre Quadratzahl.
[mm] $\Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}: 9k^2 [/mm] + 1 = [mm] 10^{n+1}. [/mm] $
Führe nun zusammengefasste Fallunterscheidung durch:
Sei k = 10l+d, wobei [mm] $d\in \{1,3,\ldots, 9\}=:M$ [/mm] (da k ungerade)
[mm] $\Rightarrow 9(100l^2+20ld [/mm] + [mm] d^2) [/mm] + 1 = [mm] 10^{n+1} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow 900l^2+180ld+9d^2+ [/mm] 1 = [mm] 10^{n+1} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow 10(90l^2+18ld) [/mm] + [mm] 9d^2+1 [/mm] = [mm] 10^{n+1} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \exists \alpha\in \mathbb{Z}, \beta\in [/mm] M, [mm] \gamma \in \mathbb{Z}: 20\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = [mm] 20\gamma. [/mm] $
Analog für k gerade.
Widerspruch!
Meine Frage an euch, liebe Mathematiker; ist mein Beweis schlüssig und korrekt?
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Hallo clemenum,
ich kann Dir nicht ganz folgen, aber vielleicht auch nur, weil es mindestens einen viel einfacheren Beweis gibt.
> Zeigen Sie, eine Zahl der Form [mm]11, 111, 1111, 11111, \ldots,[/mm]
> eine sogenannte Repunit, ist niemals Quadratzahl!
> Beweis:
>
> [mm]10^n+10^{n-1} + \ldots + 10^1 + 10^0[/mm] ist ersichtlich eine
> geometrische Reihe. Damit ist klar, dass [mm]S_n = \frac{10^{n +1} -1}{9}[/mm]
>
> lauten muss.
> Annahme, [mm]S_n[/mm] wäre Quadratzahl.
> [mm]\Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}: 9k^2 + 1 = 10^{n+1}.[/mm]
Bis hier alles gut.
> Führe nun zusammengefasste Fallunterscheidung durch:
> Sei k = 10l+d, wobei [mm]d\in \{1,3,\ldots, 9\}=:M[/mm] (da k
> ungerade)
Diesen Schritt verstehe ich nicht.
> [mm]\Rightarrow 9(100l^2+20ld + d^2) + 1 = 10^{n+1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 900l^2+180ld+9d^2+ 1 = 10^{n+1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 10(90l^2+18ld) + 9d^2+1 = 10^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists \alpha\in \mathbb{Z}, \beta\in M, \gamma \in \mathbb{Z}: 20\alpha + \beta = 20\gamma.[/mm]
>
> Analog für k gerade.
> Widerspruch!
Das scheint mir zweifelhaft, aber vielleicht liegt es auch nur an der oben genannten Unklarheit.
> Meine Frage an euch, liebe Mathematiker; ist mein Beweis
> schlüssig und korrekt?
Bist Du mit der Restklassen-/Modulrechnung vertraut? Dann ist dies einfacher:
Sei [mm] 9k^2=10^{n}-1 [/mm] mit [mm] n,k\in\IN.
[/mm]
Dann ist [mm] k\equiv\pm 1\mod{10}
[/mm]
Also [mm] k=10m\pm{1} [/mm] mit [mm] m\in\IN.
[/mm]
Dann ist $ [mm] 9k^2=9*(10m\pm{1})^2=9*(100m^2\pm [/mm] 20m+1) $.
Jetzt betrachte mal die "Zehnerstelle". Kann da eine 1 stehen?
Grüße
reverend
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