Ein Hauptideal / Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Sei [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] glatt mit $f(0)=0$. Dann ist die durch $g(x) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f'(xt) dt}$ definierte Funktion [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] auch glatt und erfüllt $f(x)=x [mm] \cdot [/mm] g(x)$ für alle reellen x und $g(0) = f'(0)$.
Nachdem ich mir die Aussagen an zwei Beispielen klar gemacht habe, grüble ich nun schon seit Stunden und komme auf keine Beweisidee. Meine bisherigen Überlegungen ergaben nur, dass folgendes gelten müsste:
[mm] $\integral_{0}^{1} [/mm] {f'(xt) dt} = [mm] \bruch{d}{dx} \integral_{0}^{1} {\bruch{f(xt)}{t} dt}$
[/mm]
Aber wenn ich damit schon auf der richtigen Spur sein sollte, sehe ich nicht, wie es nun weitergeht...
Achja, ich habe auch keine Ahnung, was ein Hauptideal ist (soll heißen, das war auch nicht Stoff der Vorlesung), das ist lediglich der Titel der Aufgabe. :)
Danke,
- Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 15.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> folgende Aufgabe:
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] glatt mit [mm]f(0)=0[/mm]. Dann ist die durch
> [mm]g(x) = \integral_{0}^{1} {f'(xt) dt}[/mm] definierte Funktion
> [mm]g:\IR \to \IR[/mm] auch glatt und erfüllt [mm]f(x)=x \cdot g(x)[/mm] für
> alle reellen x und [mm]g(0) = f'(0)[/mm].
Reicht es hier nicht, einfach linear zu substituieren?
> Achja, ich habe auch keine Ahnung, was ein Hauptideal ist
Mich würde das in dem Zusammenhang auch interessieren ... den Begriff kenne ich nur aus der Algebra, und zwar bei Ringen.
SEcki
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Hallo,
irgendwie werde ich den Verdacht nicht los, ich habe die ganze Zeit zu kompliziert gedacht. :)
$ g(x) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f'(xt) dt} $
Substitution: $z=xt [mm] \gdw t=\bruch{z}{x} \Rightarrow dt=\bruch{dz}{x}$
[/mm]
Damit wäre $ g(x) = [mm] \integral_{0}^{x} {\bruch{f'(z)}{x} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \cdot \integral_{0}^{x} [/mm] {f'(z) dz} = [mm] \bruch{1}{x} \cdot \left(f(x)-f(0)\right) [/mm] = [mm] \bruch{f(x)}{x}$
[/mm]
Und ähnlich einfach $ g(0) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f'(0) dt} = 1 [mm] \cdot [/mm] f'(0) - 0 [mm] \cdot [/mm] f'(0) = f'(0)$, da f'(0) in dem Integral ja bloß eine Konstante ist.
Geht das tatsächlich so einfach?! Und wenn ja: Wieso sehe ich das nicht gleich? :o)
- Marcel
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Die Funktionalgleichung fällt somit ja auch ab. Was wohl bleibt: zeigen, daß die Funktion auch in 0 [mm]\cal{C}^{\infty}[/mm] ist. Aber das kriegst bestimmt hin. 