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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Do 22.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Auf dem Vektorraum V = [mm] \IQ^3 [/mm] wird ein Endomorphismus [mm] \phi [/mm] duch seine Darstellungsmatrix
[mm] A=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -3 \\ -1 & 6 & 5 }
[/mm]
bezüglich der Standardbasis S gegeben.
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von [mm] \phi
[/mm]
(b) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert a den zugehörigen Eigenraum [mm] E_\phi [/mm] (a). |
Es geht eigentlich nur darum ob ich die Aufgabe richtig verstanden und gelöst habe.
(a) Zur Berechnung der Eigenwerte bilde ich das Charakteristische Polynom:
[mm] \vmat{ \lambda I - A } [/mm] = [mm] \vmat{ \lambda +1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda +4 & 3 \\ 1 & -6 & \lambda -5 } [/mm] = [mm] (\lambda +1)(\lambda +4)(\lambda [/mm] -5) - [mm] (\lambda [/mm] +1)(3)(-6) = [mm] \lambda^3 -3\lambda [/mm] -2
Durch Ausprobieren und Polynomdivision kommt man dann auf die
Nullstellen [mm] \lambda_1,2 [/mm] = -1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = 2.
Also die Eigenwerte -1 und 2.
(b) Die jeweiligen Eigenräume werden von den Eigenvektoren aufgespannt.
[mm] \lambda [/mm] = -1:
Man subtrahiert entlang der Hauptdiagonalen von A -1 und erhält so [mm] A'=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & 6 & 6 }
[/mm]
Daraus folgt ein Gleichungssystem mit einer einzigen Unabhängigen Lösung, dem Eigenvektor [mm] v_1=\pmat{ 6 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Dieser spannt den Eigenraum [mm] E_\phi [/mm] (-1) auf. Also [mm] E_\phi [/mm] (-1) = [mm] <\pmat{ 6 \\ 1 \\ 1 }>
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 2:
Entsprechend [mm] A''=\pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 1 & -7 & -3 \\ -1 & 6 & 3 } [/mm] => Gleichungsystem mit einzig der trivialen Nullösung
=> [mm] v_2=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und damit [mm] E_\phi [/mm] (2) = [mm] {\emptyset}
[/mm]
Ist die Aufgabe richtig gelöst? Rechenfehler ausgenommen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
im Prinzip hast Du das richtig gemacht nachgerechnet habe ich nichts.
Bei der Bestimmung des Eigenraumes zum EW 2 mußt Du Dich verrechnet haben. Ein Eigenraum ={0} kann ja nicht sein.
Ah, ich seh' den Fehler: [mm] -4-2\not=-7
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 22.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay klar... dann sieht die Matrix zu [mm] \lambda [/mm] =2 so aus:
[mm] A''=\pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & -3 \\ -1 & 6 & 3}
[/mm]
daraus ergibt sich dann der Einheitsvektor [mm] v_2=\pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }
[/mm]
dieser spannt den Einheitsraum auf: [mm] E\phi [/mm] (2) = [mm] <\pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }>
[/mm]
jetzt müsste es eigentlich stimmen oder?
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So sieht's gut aus.
Du kannst Deine Eigenvektoren ja auch testen, indem Du die Ausgangsmatrix darauf anwendest.
Gruß v. Angela
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