Eigenwerte und Eigenvektoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 03.02.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren von A. Anleitung: viel Denken, wenig rechnen!
Edit
[mm] $A=\pmat{2&2&2&2\\2&2&2&2\\2&2&2&2\\2&2&2&2}$ [/mm] <-- klick
Edit Ende, schachuzipus
(i) Wie ist der Rang von A? Welche Dimension hat der Kern von A?
(ii) Der Kern einer Matrix ist gerade der Eigenraum zum Eigenwert - ja, zu welchem denn?
(iii) Warum sind algebraische und geometrische Vielfachheit dieses Eigenwerts gleich?
(iv) Wenn es u ̈berhaupt noch einen anderen Eigenvektor gibt, gilt A⃗v = λ⃗v. Wie ha ̈ngt A⃗v mit den Spalten von A zusammen?
(v) Wie sehen also alle weiteren Eigenvektoren aus?
(vi) Benutzen Sie die Definition von Eigenwert und Eigenvektor, um den Eigenwert zu ermitteln. |
Hallo zusammen,
Ich Kriege es leider immer noch nicht hin die Matrizen mit Latex zu erstellen...naja auf jeden Fall ist A eine 4x4 Matrix mit allen Einträgen als 2.
Wir schreiben morgen eine Klausur und ich finde diese Aufgabe sehr gut zum lernen, komme aber leider an einer Stelle nicht ganz weiter.
Zu (i) rgA=1 ist offensichtlich, dimKern(A)=n-rg(A)=3
Zu (ii) Kern(A)=Eig(A,0)
Zu (iii) die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert 0 ist ja dann gleich der Dimension des Kerns und somit gleich . Wir haben jetzt gesagt ,dass [mm] 1\le [/mm] geometr. [mm] Vielfachheit\le [/mm] Algebr. Vielfachheit und meinten, dass deswegen die algebraische Vielfachheit auch 3 sei. Das ist für mich jedoch nicht so ganz verständlich, weil ich nicht verstehe warum man für die algebraische Vielfachheit den Wert vier ausschließen kann ...?
Würde mich über Antworten freuen.
Gruß marmik
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 So 03.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren von A.
> Anleitung: viel Denken, wenig rechnen!
>
> Edit
> [mm]A=\pmat{2&2&2&2\\2&2&2&2\\2&2&2&2\\2&2&2&2}[/mm] <-- klick
> Edit Ende, schachuzipus
> (i) Wie ist der Rang von A? Welche Dimension hat der Kern
> von A?
> (ii) Der Kern einer Matrix ist gerade der Eigenraum zum
> Eigenwert - ja, zu welchem denn?
> (iii) Warum sind algebraische und geometrische
> Vielfachheit dieses Eigenwerts gleich?
> (iv) Wenn es u ̈berhaupt noch einen anderen Eigenvektor
> gibt, gilt A⃗v = λ⃗v. Wie ha ̈ngt A⃗v mit den
> Spalten von A zusammen?
> (v) Wie sehen also alle weiteren Eigenvektoren aus?
> (vi) Benutzen Sie die Definition von Eigenwert und
> Eigenvektor, um den Eigenwert zu ermitteln.
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich Kriege es leider immer noch nicht hin die Matrizen mit
> Latex zu erstellen...naja auf jeden Fall ist A eine 4x4
> Matrix mit allen Einträgen als 2.
>
> Wir schreiben morgen eine Klausur und ich finde diese
> Aufgabe sehr gut zum lernen, komme aber leider an einer
> Stelle nicht ganz weiter.
>
> Zu (i) rgA=1 ist offensichtlich, dimKern(A)=n-rg(A)=3
O.K.
> Zu (ii) Kern(A)=Eig(A,0)
O.K.
> Zu (iii) die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert 0 ist
> ja dann gleich der Dimension des Kerns und somit gleich .
> Wir haben jetzt gesagt ,dass [mm]1\le[/mm] geometr. [mm]Vielfachheit\le[/mm]
> Algebr. Vielfachheit und meinten, dass deswegen die
> algebraische Vielfachheit auch 3 sei. Das ist für mich
> jedoch nicht so ganz verständlich, weil ich nicht verstehe
> warum man für die algebraische Vielfachheit den Wert vier
> ausschließen kann ...?
Wenn die algebraische Vielfachheit =4 wäre, so wäre [mm] A^4=0
[/mm]
FRED
> Würde mich über Antworten freuen.
> Gruß marmik
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 03.02.2013 | | Autor: | marmik |
Hi Fred97,
danke für deine antwort.
Ich hätte noch eine Frage zu (ii), nämlich :
Ist der Kern einer Matrix immer ein Eigenraum zum Eigenwert 0?
Weil so wie ich das verstanden habe würde das für mich bedeuten, dass ja [mm] \lambda=0 [/mm] immer eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix ist. Ohne dieses Polynom zu bestimmen, wie kann ich dann sagen, dass [mm] \lambda=0 [/mm] ein Eigenwert ist ?
Gruß marmik
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Hallo marmik,
> Hi Fred97,
> danke für deine antwort.
> Ich hätte noch eine Frage zu (ii), nämlich :
> Ist der Kern einer Matrix immer ein Eigenraum zum
> Eigenwert 0?
Ja, allg. ist [mm] $Ker(A-\lambda\cdot{}\mathbb [/mm] E)$ Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda$
[/mm]
> Weil so wie ich das verstanden habe würde das für mich
> bedeuten, dass ja [mm]\lambda=0[/mm] immer eine Nullstelle des
> charakteristischen Polynoms der Matrix ist.
Nein, umgekehrt. Null muss ja nicht Eigenwert sein ...
Wenn ein EW [mm] $\lambda=0$ [/mm] existiert, dann ist [mm] $Ker(A-0\cdot{}\mathbb [/mm] E)=Ker(A)$ Eigenraum zu diesem Eigenwert
> Ohne dieses
> Polynom zu bestimmen, wie kann ich dann sagen, dass
> [mm]\lambda=0[/mm] ein Eigenwert ist ?
Das wird hier in $(ii)$ stillschweigend unterstellt ...
Du solltest dir vllt. überlegen, dass 0 tatsächlich Eigenwert von A ist.
>
> Gruß marmik
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 03.02.2013 | | Autor: | marmik |
Hi Schachuzipus,
Also ist sozusagen in (ii) gegeben, dass [mm] \lambda=0 [/mm] ein Eigenwert ist? Und wenn ich das überprüfen möchte, müsste ich das charakteristische Polynom bestimmen und dann die Nullstellen? Oder was meinst du damit, dass ich mir das klar machen soll?
Gruß Marmik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Schachuzipus,
> Also ist sozusagen in (ii) gegeben, dass [mm]\lambda=0[/mm] ein
> Eigenwert ist?
Nein. Es war doch
$ [mm] A=\pmat{2&2&2&2\\2&2&2&2\\2&2&2&2\\2&2&2&2} [/mm] $
Du hast selbst festgestellt, dass Rang(A)=3<4 ist. Damit ist A nicht invertierbar, also gibt es ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit Ax=0
FRED
Und wenn ich das überprüfen möchte,
> müsste ich das charakteristische Polynom bestimmen und
> dann die Nullstellen? Oder was meinst du damit, dass ich
> mir das klar machen soll?
>
> Gruß Marmik
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