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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 08.07.2009 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | [mm] A=1/2*\pmat{ 3 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & 2 \\ -1 & 2 & 3 }\in\IR^{3x3}
[/mm]
a) Zeige, dass 1 ein Eigenwert von A ist, und bestimme alle Eigenwerte und -räume von A. Man entscheide ohne weitere Rechnung, ob sigma A ein Skalarprodukt ist, und begründe diese Entscheidung.
b) Man bestimme eine Matrix [mm] P\inO_3(\IR), [/mm] so dass [mm] P^T [/mm] AP Diagonalgestalt besitzt.
c) Man finde eine Matrix [mm] B\in\IR^{3x3} [/mm] mit A=B². |
Hallo. Hier habe ich die Aufgabe. Angefangen habe ich bei a) indem ich versucht habe die Determinante von A multipliziert mit lambda und dem Einheitsvektor zu berechnen. Doch schon da ist es bei mir gescheitert. Wollte Sarrus anwenden aber es kommt nichts ordentliches bei mir raus.
Danke
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo aga88,
> A= 1/2 at{ 3 & -2 & -1 [mm]\\[/mm] -2 & 6 & 2 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1 & 2 & 3 }
> [mm]\in\IR^{3x3}[/mm]
>
[mm] A= \bruch{1}{2}\pmat{3 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & 2 \\ -1 & 2 & 3}[/mm]
> a) Zeige, dass 1 ein Eigenwert von A ist, und bestimme alle
> Eigenwerte und -räume von A. Man entscheide ohne weitere
> Rechnung, ob sigma A ein Skalarprodukt ist, und begründe
> diese Entscheidung.
>
> b) Man bestimme eine Matrix P [mm]\in O_3[/mm] ( [mm]\IR),[/mm] so dass [mm]P^T[/mm]
> AP Diagonalgestalt besitzt.
>
> c) Man finde eine Matrix B [mm]\in \IR[/mm] ^{3x3} mit A=B².
> Hallo. Hier habe ich die Aufgabe. Angefangen habe ich bei
> a) indem ich versucht habe die Determinante von A
> multipliziert mit lambda und dem Einheitsvektor zu
> berechnen. Doch schon da ist es bei mir gescheitert. Wollte
> Sarrus anwenden aber es kommt nichts ordentliches bei mir
> raus.
Um die Eigenwerte der Matrix A zu erhalten, mußt Du
[mm]\operatorname{det}\left(A-\lambda*E\right)=0[/mm]
lösen, wobei E die Einheitsmatrix ist.
Hier ist glaub ich ein anderes Vorgehen gefragt.
Berechne hier zunächst [mm]A-E[/mm].
>
> Danke
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 08.07.2009 | | Autor: | aga88 |
Danke habe deinen Tipp angewandt, aber bin auch nen Ticken weiter.
Wenn ich nur A-E mache erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1/2 & -1 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1/2}
[/mm]
habe aber auch [mm] A-\lambda [/mm] E gemacht:
letztes Ergebnis wo ich stecken bleibe: (3/2 - [mm] \lambda)² [/mm] * [mm] (3-\lambda) [/mm] -1
habe ich etwas falsch gemacht?
LG
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Hallo aga88,
> Danke habe deinen Tipp angewandt, aber bin auch nen Ticken
> weiter.
>
> Wenn ich nur A-E mache erhalte ich:
> [mm]\pmat{ 1/2 & -1 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1/2}[/mm]
A-E muß doch hier so lauten:
[mm]\pmat{ 1/2 & -1 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1 \\ \red{-}1/2 & 1 & 1/2}[/mm]
Jetzt fällt Dir hoffentlich etwas auf.
>
> habe aber auch [mm]A-\lambda[/mm] E gemacht:
> letztes Ergebnis wo ich stecken bleibe: (3/2 - [mm]\lambda)²[/mm]
> * [mm](3-\lambda)[/mm] -1
Das stimmt leider nicht.
> habe ich etwas falsch gemacht?
>
> LG
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 08.07.2009 | | Autor: | aga88 |
hm? mir fällt nur auf, dass man 1/2 vor die Matrix schreiben könnte. Aber den Bezug zur Aufgabe sehe ich nicht.
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Hallo,
> hm? mir fällt nur auf, dass man 1/2 vor die Matrix
> schreiben könnte. Aber den Bezug zur Aufgabe sehe ich
> nicht.
Vergleiche doch mal die erste und letzte Zeile ....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 08.07.2009 | | Autor: | aga88 |
okay jetzt habe ich es gesehen. die 2 und 3. Zeile entfallen bzw. es entstehen in beiden Zeilen Nullen. Rang=1. So nun habe ich aber Probleme weiter zukommen. Wie berechnet man die Eigenvektoren? Das sollte ja als nächstes kommen denk ich.
Gruß
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Hallo!
Du weißt nun, dass der Lösungsraum (Eigenraum zum Eigenwert 1) des LGS
$(A-1*E)*v = o$
für die Eigenvektoren $v = [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}$ [/mm] nur durch die Gleichung
[mm] \bruch{1}{2}*v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*v_{3} [/mm] = 0
(erste Zeile der Koeffizientenmatrix) eingeschränkt wird. Wir haben 3 Unbekannte, aber nur eine Bedingung, d.h. wir dürfen 3 - 1 = 2 Parameter frei wählen, um den Eigenraum zum Eigenwert 1 darzustellen. (D.h. auch, dass der Eigenraum die Dimension 2 hat!). Seien also [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] und es gelte
[mm] $v_{3} [/mm] = b$
[mm] $v_{2} [/mm] = a$
Dann können wir [mm] v_{1} [/mm] durch die obige Gleichung mit a und b ausdrücken:
[mm] $\bruch{1}{2}*v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*v_{3} [/mm] = 0 [mm] \gdw v_{1} [/mm] = [mm] 2*v_{2} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] = 2*a+b$
Insgesamt sind also alle Lösungen des LGS:
$v = [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{2*a+b\\a\\b}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR$.
[/mm]
Die Eigenvektoren und damit auch eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1 erhält man durch "Auseinanderziehen" des Lösungsvektors v entsprechend der Parameter:
[mm] $\vektor{2*a+b\\a\\b} [/mm] = [mm] a*\vektor{2\\1\\0} [/mm] + [mm] b*\vektor{1\\0\\1}$
[/mm]
D.h. [mm] \vektor{2\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] sind Eigenvektoren, und
[mm] $\left\{\vektor{2*a+b\\a\\b}|a,b\in\IR\right\} [/mm] = [mm] \left\{a*\vektor{2\\1\\0} + b*\vektor{1\\0\\1}|a,b\in\IR\right\}$
[/mm]
ist der Eigenraum zum Eigenwert 1.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mi 08.07.2009 | | Autor: | aga88 |
gut danke:).
nun weiterhin heißt es in der Aufgabe man solle alle Eigenwerte und Eigenräume bestimmen.
Habe also dazu det [mm] (A-\lambda [/mm] E) berechnet, und bekomme letztlich: 6 1/2- [mm] 18\lambda [/mm] + 6 [mm] \lambda² [/mm] - [mm] \lambda³
[/mm]
habe an dieser Stelle immer Probleme weiter zukommen. Muss ja hier iwie ausklammern.
LG
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Hallo!
Ich komme auf ein anderes charakteristisches Polynom:
[mm] $\lambda^{3}-6*\lambda^{2}+9*\lambda-4$.
[/mm]
Überprüfe deinen Rechenweg, oder poste ihn, wenn wir drüberschauen sollen.
Du weißt nun, dass [mm] $\lambda [/mm] = 1$ ein Eigenwert ist. Benutze also Polynomdivision, um ein quadratisches Polynom zu erhalten:
[mm] $(\lambda^{3}-6*\lambda^{2}+9*\lambda-4):(\lambda-1) [/mm] = ...$
Grüße,
Stefan.
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