Eigenwerte einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Rubik |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich habe gerade einige Aufgaben geübt und Eigenwerte von 3x3 Matrizen gerechnet. Einige Eigenwerte sind positiv definit, einige negativ bzw. weitere haben einen imaginären Anteil.
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Meine Fragen, welche Bedeutung haben diese Aussagen
a) eigenwerte positiv definit
b) eigenwerte negativ
Wozu werden diese Aussagen benötigt? Was kann ich mir darunter vorstellen?
Gibt es einen praktischen Einsatzbeispiel?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Meine Fragen, welche Bedeutung haben diese Aussagen
> a) eigenwerte positiv definit
Eigenwerte sind nicht positiv definit, *Matrizen* sind positiv definit.
Eine Matrix ist positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Anschaulich, aber impräzise, heißt das, daß die Matrix nicht dreht und nicht spiegelt sondern nur verzerrt.
Man kann eine symmetrische, positiv definite Matrix A als Skalarprodukt verwenden $<x,y>_A=x^tAy$ anstatt des Standardskalarprodukts $<x,y>=x^ty$. (Wäre es nicht positiv definit, würde die induzierte Norm [mm] $\|x\|_A=_A$ [/mm] spinnen)
Auch kann man eine symmetrisch positiv semi-definite Matrix als Kovarianzmatrix hernehmen (die Definitheit braucht man hier, um zu verhindern, daß negative Varianzen auftauchen)
Die Definitheit der Hessematrix sagt Dir, ob Du ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattelpunkt hast. Und das ganze taucht auch bei Differentialgleichungen und der Konvergenz einiger anderer Verfahren auf. Wobei ich ehrlich zugeben muß, daß sie einem zwar immer wieder über den Weg läuft, aber mir im Moment keine anderen durchschlagenden Anwendungen einfallen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 18.05.2010 | | Autor: | Rubik |
Danke Stefan!
Du hast recht Matrizen sind positiv definit nicht Eigenwerte. Es waren wohl gestern zu viele Rechnungen.
Wenn ich jetzt eine Differentialgleichung habe in der negative oder imaginäre Eigenwerte vorkommen, bedeutet das dass die Stabilität bzw. Lösbarkeit nur bedingt möglich ist? Gibt es da ein Beispiel aus der Technik (Grafikrechnungen etc.)?
Ich glaube bei diesem Thema bin ich etwas abgehoben, allerdings interessieren tut mich jetzt das noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Rubik |
Hat jemand noch eine Idee, können meine Annahmen bestätigt werden?
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Hallo,
Sätze über Lösbarkeit von DGL-systemen mit Eigenwerten von Matrizen sind mir nicht bekannt, man kann anhand dieser jedoch stationäre Lösungen von DGL-systemen beurteilen und klassifizieren, hier ein Link dazu für
![[]](/images/popup.gif) 2 Dimensionen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Eine Matrix ist positiv definit, wenn alle Eigenwerte
> positiv sind.
Hallo,
i.a. stimmt das nicht.
Die Aussage ist aber richtig für symmetrische Matrizen.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:14 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
da hast Du absolut recht. Ich war in Gedanken gerade bei Skalarprodukten und Steifigkeitsmatrizen. =)
ciao
Stefan
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![[]](http://www.google.de/imgres?imgurl=http://www.usf.uos.de/~afocks/Lehre/sysII2001/supp/top_fluesse.jpg&imgrefurl=http://www.usf.uos.de/~afocks/Lehre/sysII2001/1005.html&usg=__GvcFN9_YYtRLVLWhUuN7VDPGhFE=&h=580&w=450&sz=79&hl=de&start=1&um=1&itbs=1&tbnid=kd2wZv-3RQ-aAM:&tbnh=134&tbnw=104&prev=/images%3Fq%3DStabilit%25C3%25A4t%2Bstation%25C3%25A4re%2BPunkte%26um%3D1%26hl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26sa%3DN%26rls%3Dorg.mozilla:de:official%26channel%3Ds%26tbs%3Disch:1){kind=small}
2 Dimensionen.
