Eigenwerte durch Gauß < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Do 02.02.2012 | | Autor: | herben |
Hallo Leute,
ich hab nur zwei ganz kurze theoretische Fragen:
1) Bei z.B. oberen Dreiecksmatrizen kann man die Eigenwerte ja direkt von der Hauptdiagonalen ablesen. Nun kann ich aber nicht einfach eine Matrix mit dem Gauß-Verfahren auf Dreiecksgestalt bringen um die Eigenwerte zu bestimmen. Was ist da eigentlich die genaue Begründung warum das nicht geht. Ich meine die Determinante z.B. wird ja beim Gauß erhalten (wenn man keine Zeilen tauscht usw)...
2) Bei symmetrischen Matrizen stehen EV zu veschiedenen EW senkrecht aufeinander. Sagen wir ein Eigenwert tritt doppelt auf, dann sind die EV zu diesem EW nicht notwendig senkrecht zueinander. Ohne nun z.B. das Gram-Schmidt-Verfahren anzuwenden, gab es da noch die Möglichkeit (im [mm] $\IR^3$) [/mm] mit dem Kreuzprodukt einen senkrechten EV zu erzeugen. Mit welchen Vektoren eigentlich? Nicht die beiden aus dem 2-dim. Eigenraum oder? und warum erhält das Kreuzprodukt die EV-Eigenschaft??
Viele Dank schon mal Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Do 02.02.2012 | | Autor: | wieschoo |
Sind Diagonalmatrizen keine obere Dreicksmatrizen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Do 02.02.2012 | | Autor: | herben |
Doch...insbesondere. Aber ich erkenne da grad den Zusammenhang zu meiner Frage nicht so ganz....
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Zum Gauß:
Du darfst hier nur Zeilen aufeinaneraddieren, nix tauschen, nix multiplizieren.
Und kriegst du damit wirklich alles auf Dreiecksform?
Und selbst wenn müsstest du die charakteristische Matrix und nicht die Matrix selber betrachten, denn von der ist die Determinante zu berechnen.
Und wenn auf der Hauptdiagonale Polynome stehen und außerhalb der Diagonale nur Zahlen könnte das nur mit Zeilenadditionen ein echtes Problem werden...
Und zur Behauptung, dass das Kreuzprodukt EV auf EV abbildet auch ein Beispiel:
[mm] $\pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 3}$
[/mm]
Offensichtlich sind [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] sowie [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert 1, das Kreuzprodukt der beiden [mm] ($\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$) [/mm] allerdings keinesfalls.
Und dann stellt sich noch die Frage:
Stehen bei symetrischen Matrizen die Eigenvektoren wirklich senkrecht aufeinander?
Auch dafür ein Gegenbeispiel:
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
Als Eigenvektoren nehmen wir die Standardbasis, als Skalarprodukt folgende Matrix:
[mm] $B=\pmat{1 & 1 \\ 1 & 2}$
[/mm]
Und dann das Skalarprodukt $b$ definiert durch:
$b(x,y) = x^TBy$
Und schwupp, damit stimmt auch das nicht mehr.
Von daher solltest du mal dringend deine Frage neu formulieren und/oder ein paar Wissenslücken füllen, denn ich sehe da nicht wirklich viel richtiges drinn...
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Fr 03.02.2012 | | Autor: | herben |
ja moment, wir reden da aneinander vorbei, denke ich.
> Zum Gauß:
> Du darfst hier nur Zeilen aufeinaneraddieren, nix
> tauschen, nix multiplizieren.
> Und kriegst du damit wirklich alles auf Dreiecksform?
> Und selbst wenn müsstest du die charakteristische Matrix
> und nicht die Matrix selber betrachten, denn von der ist
> die Determinante zu berechnen.
> Und wenn auf der Hauptdiagonale Polynome stehen und
> außerhalb der Diagonale nur Zahlen könnte das nur mit
> Zeilenadditionen ein echtes Problem werden...
Da hast du mich falsch verstanden. Ich möchte nicht das charakteristische Polynom ausrechnen. Ich rede davon, dass wenn ich eine obere Dreiecksmatrix oder Diagonalmatrix GEGEBEN habe, also von Anfang an, dann stehen die Eigenwerte dieser Matrix auf der Hauptdiagonalen.
So, mit diesem Wissen: Gegeben eine andere, beliebige (natürlich quadratische) Matrix, von der ich die Eigenwerte berechnen möchte. Warum ist es nicht möglich, diese Matrix mit Gauß (ohne Zeilentausch und Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl) auf Dreiecksgestalt zu bringen um dann die EW ablesen zu können. Also die unsprüngliche Matrix und die mit dem Gauß-Verfahren errechnete Matrix sind ja nun anscheinend nicht mehr ähnlich (denn sonst hätten sie ja die gleichen EW). Aber was genau macht die Ähnlichkeit kaputt? (z.B. ist die Determinante, der Rang, usw. der beiden Matrizen ja gleich)
>
> Und zur Behauptung, dass das Kreuzprodukt EV auf EV
> abbildet auch ein Beispiel:
> [mm]\pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 3}[/mm]
> Offensichtlich
> sind [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] sowie [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Eigenvektoren zum Eigenwert 1, das Kreuzprodukt der beiden
> ([mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]) allerdings keinesfalls.
Das hab ich auch nicht behauptet. Die Frage war: Gegeben eine SYMMETRISCHE, reelle Matrix. Dann stehen EV zu verschiedenen EW senkrecht aufeinander. Nun habe ich einen Eigenwert mit der algebraischen und geometrischen Vielfachheit 2, also einen doppelten EW mit zwei zugehörigen EV. Diese beiden stehen nun nicht automatisch senkrecht aufeinander. Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren ließen sich diese natürlich zueinander orthogonalisieren, aber...das geht (unter vernünftigen Voraussetzungen, also insbesondere dass wir uns im [mm] $\IR^3$ [/mm] befinden, usw.) auch durch das Kreuzprodukt eines Eigenvektors aus dem 2-dim. Eigenraum mit dem anderen Eigenvektor des anderen Eigenraums. Die beiden Vektoren im Kreuzprodukt sind bereits senkrecht zueinander und der dritte durch das Kreuzprodukt entstehende, ist ebenfalls senkrecht zu den anderen beiden. Nur: Warum ist dieser Vektor Eigenvektor? Klar, weil ich bei reellen symmetrischen Matrizen immer eine Basis aus Eigenvektoren des zugrunde liegenden Vektorraums finden kann und dann aus Dimensionsgründen schon gelten muss, dass der entstehende Vektor Eigenvektor ist. Aber mal abgesehen von der Dimension hätte ich gern gewusst, warum das Kreuzprodukt in diesem Fall die Eigenvektoreigenschaft erhält.
> Und dann stellt sich noch die Frage:
> Stehen bei symetrischen Matrizen die Eigenvektoren
> wirklich senkrecht aufeinander?
>
> Auch dafür ein Gegenbeispiel:
> [mm]\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
> Als Eigenvektoren nehmen wir die
> Standardbasis, als Skalarprodukt folgende Matrix:
> [mm]B=\pmat{1 & 1 \\ 1 & 2}[/mm]
> Und dann das Skalarprodukt [mm]b[/mm]
> definiert durch:
> [mm]b(x,y) = x^TBy[/mm]
> Und schwupp, damit stimmt auch das nicht
> mehr.
>
Wir wollens ja nicht komplizierter machen als nötig :) Dass man sich bestimmte Fälle wie eine andere Wahl der Basis oder des Skalarprodukts noch mal anssehen könnte, ist ok, aber ich wollts erstmal nur bzgl. Standardskalarprodukt und Einheitsbasis.
> Von daher solltest du mal dringend deine Frage neu
> formulieren und/oder ein paar Wissenslücken füllen, denn
> ich sehe da nicht wirklich viel richtiges drinn...
>
Gut, zum Lücken füllen bin ich hier. Viele Dank, dass du dir so viel Zeit genommen hast um auf meine Frage zu antworten.
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> Gegeben eine andere, beliebige
> (natürlich quadratische) Matrix, von der ich die
> Eigenwerte berechnen möchte. Warum ist es nicht möglich,
> diese Matrix mit Gauß (ohne Zeilentausch und
> Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl) auf
> Dreiecksgestalt zu bringen um dann die EW ablesen zu
> können. Also die unsprüngliche Matrix und die mit dem
> Gauß-Verfahren errechnete Matrix sind ja nun anscheinend
> nicht mehr ähnlich (denn sonst hätten sie ja die gleichen
> EW). Aber was genau macht die Ähnlichkeit kaputt? (z.B.
> ist die Determinante, der Rang, usw. der beiden Matrizen ja
> gleich)
Hallo,
Du erkennst es ja selbst: die ursprüngliche Matrix und die mit dem Gaußverfahren erhaltene Matrix sind nicht ähnlich.
Die im Gaußverfahren vorgenommenen Umformungen kann man ja als Multiplikation mit den passenden Elementarmatrizen schreiben. Machst Du Zeilenumformungen, so bekommst Du die Endmatrix, indem Du links einen Schwung Elementarmatrizen dranmultiplizierst.
Die Gaußumformungen machen also keine ähnlichen Matrizen.
Daß die Determinante und Rang erhalten bleiben, kommt daher, daß die Elementarmatrizen invertierbar sind.
Zum Kreuzprodukt:
Du denkst gerade über reelle, symmetrische [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen nach.
Diese sind orthogonal diagonalisierbar.
Deine Frage, wie ich sie verstehe, ist, warum es so ist, daß das Kreuzprodukt zweier linear unabhängiger Eigenvektoren immer einen dritten Eigenvektor liefert.
Ich denke, daß Dich die Antwort nicht richtig befriedigen wird: es liegt daran, daß das Kreuzprodukt einen zu den beiden anderen Vektoren orthogonalen Vektor liefert...
Wenn Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren hast, weißt Du aufgrund der Eigenschaften der Matrix, daß ein dritter, der zu ihnen senkrecht ist, auch ein Eigenvektor ist. Und der Vektor, den man aus dem Kreuzprodukt erhält, zeigt eben in diese oder die entgegegengesetzte Richtung, ist also ein dritter Eigenvektor.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Fr 03.02.2012 | | Autor: | herben |
> Du erkennst es ja selbst: die ursprüngliche Matrix und die
> mit dem Gaußverfahren erhaltene Matrix sind nicht
> ähnlich.
> Die im Gaußverfahren vorgenommenen Umformungen kann man
> ja als Multiplikation mit den passenden Elementarmatrizen
> schreiben. Machst Du Zeilenumformungen, so bekommst Du die
> Endmatrix, indem Du links einen Schwung Elementarmatrizen
> dranmultiplizierst.
> Die Gaußumformungen machen also keine ähnlichen
> Matrizen.
> Daß die Determinante und Rang erhalten bleiben, kommt
> daher, daß die Elementarmatrizen invertierbar sind.
Perfekt. Danach hatte ich gesucht, völlig klar eigentlich, aber ich bin echt nicht drauf gekommen....
>
> Zum Kreuzprodukt:
>
> Du denkst gerade über reelle, symmetrische [mm]3\times[/mm]
> 3-Matrizen nach.
> Diese sind orthogonal diagonalisierbar.
> Deine Frage, wie ich sie verstehe, ist, warum es so ist,
> daß das Kreuzprodukt zweier linear unabhängiger
> Eigenvektoren immer einen dritten Eigenvektor liefert.
> Ich denke, daß Dich die Antwort nicht richtig befriedigen
> wird: es liegt daran, daß das Kreuzprodukt einen zu den
> beiden anderen Vektoren orthogonalen Vektor liefert...
> Wenn Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren hast,
> weißt Du aufgrund der Eigenschaften der Matrix, daß ein
> dritter, der zu ihnen senkrecht ist, auch ein Eigenvektor
> ist. Und der Vektor, den man aus dem Kreuzprodukt erhält,
> zeigt eben in diese oder die entgegegengesetzte Richtung,
> ist also ein dritter Eigenvektor.
>
Ok, das nehme ich einfach mal hin. Ich hatte mir das schon so gedacht, aber insgeheim auf eine total coole und tiefgründige Geschichte dahinter gehofft und bin nun dementsprechend enttäuscht darüber... Naja, man kann nicht alles haben.
Viele Dank für deine Hilfe.
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