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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 So 03.03.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | [mm] A_m [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ -1 & 2 & 1 \\ 2-m & m-2 & m }
[/mm]
Für welche m ist [mm] A_m [/mm] diagonalisierbar? Ist [mm] A_m [/mm] trigonalisierbar? |
Hallo Gemeinde ich schaffe es nicht die o. g. Aufgabe zu lösen, weil ich es zum Schluss nicht schaffe das Gleichungssystem zu lösen. Um die gesuchten m zu bestimmen berechne ich die Eigenwerte der Matrix. Also:
[mm] det(xI_3 [/mm] - [mm] A_m) [/mm] = [mm] \pmat{ x-1 & 0 & -1\\ 1 & x-2 & -1 \\ m-2 & 2-m & x-m }
[/mm]
Da in der ersten Zeile eine Null ist entwickel ich nach der ersten Zeile. Wir dürfen leider kein Sarrus benutzen.
(x-1)[(x-2)(x-m) - (-2+m)] - [(2-m) - (m-2)(x-2)]
= (x-1) [mm] [x^2 [/mm] -mx -2x + 2m + 2-m] - [(2-m) - (mx - 2m - 2x +4)]
= (x-1) [mm] [x^2 [/mm] -mx -2x + 2m + 2-m] - [2-m - mx +2m +2x -4]
= [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + mx - [mm] mx^2 [/mm] +2x -2-m +mx -2x +4
= [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] +2mx [mm] -mx^2 [/mm] +2-m
So und ab hier komme ich nicht weiter! Wie löst man solche Gleichungssysteme? :)
Die Lösung zur Aufgabe soll angeblich: 1, 2 und m sein. (ohne Gewähr)
Das chark.-Polynom sieht demnach so aus: (x-1)(x-2)(x-m)
Vielen vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 So 03.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
erste Regel: IMMER or dem Ausmultiplizieren, sehen, ob man was ausklammern kann!
Hier x-2 damit hast du x=2 und es bleibt eine quadratische Gl.übrig
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 03.03.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo danke für die deine Hilfe!
Ich habe mal x-2 ausgeklammert:
(x-2) [mm] [x^2 +x^2 [/mm] - m - x -1] - m
= (x-2) [mm] [(2x^2 [/mm] - 2m - (x - 1)]
Wie komme ich denn jetzt weiter? (Sorry ich bin total schlecht in sowas!^^)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 So 03.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo danke für die deine Hilfe!
> Ich habe mal x-2 ausgeklammert:
>
> (x-2) [mm][x^2 +x^2[/mm] - m - x -1] - m
> = (x-2) [mm][(2x^2[/mm] - 2m - (x - 1)]
>
> Wie komme ich denn jetzt weiter? (Sorry ich bin total
> schlecht in sowas!^^)
x=2 ist schon mal eine Nullstelle,
Jetzt löse $ [mm] 2x^2 [/mm] - 2m - (x - 1)=0$
fred
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