Eigenwerte bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Do 02.02.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR [/mm] vektorraum der von cos(t) und sin(t) erzeugten Funktion.
In diesem Fall stellt die Ableitung D : [mm] V\to [/mm] V; [mm] f\to [/mm] f', einen Endomorphismus von V dar. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom [mm] X_D(X) [/mm] von D. Untersuchen Sie, ob D Eigenwerte besitzt und geben sie diese gegebenenfalls an. |
Ok, ich weiß wie man charakteristische Polynome und Eigenwerte bestimmt. Allerdings kenne ich das bisher nur von Matrizen.
Könnt ihr mir erklären wie ich das hier mache?
LG heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Do 02.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] b_1(t)=cos(t), b_2(t)=sin(t). [/mm] Dann ist [mm] (b_1,b_2) [/mm] eine Basis von V.
Sei A die Abbildungsmatrix von D bezügl. obiger Basis.
Das char. Polynom von D ist das char. Polynom von A
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 02.02.2012 | | Autor: | triad |
> Setze [mm]b_1(t)=cos(t), b_2(t)=sin(t).[/mm] Dann ist [mm](b_1,b_2)[/mm] eine
> Basis von V.
$ B = ( cos(t), sin(t) ) $ ist also eine Basis von V. Aber warum sind die Basisvektoren lu? Man kann den Sinus doch durch eine Verschiebung um eine Viertelperiode zum Cosinus machen und umgekehrt?
> Sei A die Abbildungsmatrix von D bezügl. obiger Basis.
Also ist A = [mm] M_B^B(D) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }.
[/mm]
> Das char. Polynom von D ist das char. Polynom von A
>
> FRED
Das char. Polynom von D bzw. A müsste dann so aussehen: [mm] \chi_D(X) [/mm] = [mm] det(A-X*E_2) [/mm] = [mm] det\pmat{ -x & 1 \\ -1 & -x } [/mm] = [mm] x^2+1.
[/mm]
Und von [mm] x^2+1 [/mm] existieren keine Nullstellen in [mm] \IR, [/mm] weil das irgendwie komplexe Zahlen sind $ (-i,+i) $ (hatten wir in der Vorlesung).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Do 02.02.2012 | | Autor: | triad |
hallo,
> Setze doch mal die LK des Nullvektors (hier der
> Nullfunktion) an:
>
> [mm]\lambda\cdot{}\cos(t)+\mu\cdot{}\sin(t)=0[/mm] muss für l.U.
> für jedes [mm]t\in\IR[/mm] (nur) die (triviale) Lösung
> [mm]\lambda=\mu=0[/mm] haben ...
>
Achja! Da hab ich wohl wieder zu kompliziert gedacht, denn allein mit der Darstellung [mm]\lambda\cdot\cos(t)[/mm] bzw. [mm]\lambda\cdot\sin(t)[/mm], [mm] \lambda\in\IR [/mm] kann man natürlich nicht auf [mm]\sin(t)[/mm] bzw. [mm]\cos(t)[/mm] kommen.
> Über [mm]\IR[/mm] hat das char. Polynom also keine Nullstelle(n)
>
> Was heißt das im Hinblick auf die Frage in der
> Aufgabenstellung?
>
Stimmt, das hatte ich vergessen:
> Und von $ [mm] x^2+1 [/mm] $ existieren keine Nullstellen in $ [mm] \IR, [/mm] $
also besitzt der Endomorphismus D keine Eigenwerte.
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