Eigenwerte berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 05.02.2012 | | Autor: | JohnB |
| Aufgabe | Sei V über C und A eine Selbstabbildung.
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A mit
$ [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 2 } [/mm] $ |
Das charakteristische Polynom muss also null gesetzt werden:
$ det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 0-\lambda & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 2-\lambda }=0 [/mm] $
Zur Zeile 3 subtrahiere ich Zeile 4 und gleichzeitig zur Zeile 4 Zeile 3:
$ det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & -1-\lambda \\ 0 & 0 & -1+\lambda & 1-\lambda }=0 [/mm] $
Jetzt addiere ich zur Zeile 4 Zeile 3 hinzu:
$ det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & -1-\lambda \\ 0 & 0 & 0 & -2*\lambda }=0 [/mm] $
Das Produkt der Hauptdiagonalelemente ist dann die Determinante:
[mm] (1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)(-2*\lambda)=0
[/mm]
1 ist dann ein dreifacher Eigenwert und 0 ist ein einfacher Eigenwert. Jedoch sagt mir der Online-Rechner was anderes, nämlich vierfach die 1.
Wo liegt mein Fehler?
Danke für Hilfe
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Hallo JohnB,
> Sei V über C und A eine Selbstabbildung.
> Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A mit
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 2 }[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom muss also null gesetzt
> werden:
>
> [mm]det \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 0-\lambda & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 2-\lambda }=0[/mm]
>
> Zur Zeile 3 subtrahiere ich Zeile 4 und gleichzeitig zur
> Zeile 4 Zeile 3:
>
> [mm]det \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & -1-\lambda \\ 0 & 0 & -1+\lambda & 1-\lambda }=0[/mm]
>
Nach der Operation Zeile3-Zeile4->Zeile 3 sieht die Matrix so aus:
[mm]det \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & -1\red{+}\lambda \\ 2 & -1 & -1 & 2-\lambda }=0[/mm]
> Jetzt addiere ich zur Zeile 4 Zeile 3 hinzu:
>
> [mm]det \pmat{ 1-\lambda & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & -1-\lambda \\ 0 & 0 & 0 & -2*\lambda }=0[/mm]
>
> Das Produkt der Hauptdiagonalelemente ist dann die
> Determinante:
>
> [mm](1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)(-2*\lambda)=0[/mm]
>
> 1 ist dann ein dreifacher Eigenwert und 0 ist ein einfacher
> Eigenwert. Jedoch sagt mir der Online-Rechner was anderes,
> nämlich vierfach die 1.
>
Dann muss die Matrix so lauten:
[mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & \blue{1} & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 2 }[/mm]
> Wo liegt mein Fehler?
> Danke für Hilfe
Gruss
MathePower
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