Eigenwerte/Matr. potenzieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | T [mm] \in \IR^{nxn}
[/mm]
a) Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix T, dann ist [mm] \lambda^j [/mm] für j [mm] \in \IN [/mm] ein Eigenwert der Matrix [mm] T^j.
[/mm]
b) Für den Spektralradius der Matrix T, definiert durch ρ(T) := [mm] max_{1\le i \le n} [/mm] || [mm] \lambda_j [/mm] || mit [mm] \lambda_j [/mm] Eigenwerte von T, gilt:
p(T) [mm] \le \limes_{j\rightarrow\infty} ||T^j||^{1/j} [/mm] |
Hi,
bei der a)
da dacht ich an die Diagonalisierbarkeit:
[mm]D = T^{-1}AT[/mm]
[mm] \Rightarrow D^k = T^{-1}A^kT[/mm]
Würde das reichen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 23.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst nicht davon ausgehen, dass die Matrix diagonalisierbar ist!
Mach das lieber mal so:
Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von T zum Eigenvektor v, d.h. [mm] $Tv=\lambda [/mm] v$.
Nun schau mal was passiert, wenn man $T^jv$ ausrechnet.
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> Hi!
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> Du kannst nicht davon ausgehen, dass die Matrix
> diagonalisierbar ist!
Hmm.. ja das dacht ich mir schon.
> Mach das lieber mal so:
> Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von T zum Eigenvektor v, d.h.
> [mm]Tv=\lambda v[/mm].
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> Nun schau mal was passiert, wenn man [mm]T^jv[/mm] ausrechnet.
Wie kann ich das allgemeingültig machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 23.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
So, wie ich es geschrieben habe. Wenn v Eigenvektor von T zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist, dann schau dir mal [mm] $T^j*v$ [/mm] an.
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> Hi!
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> So, wie ich es geschrieben habe. Wenn v Eigenvektor von T
> zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist, dann schau dir mal [mm]T^j*v[/mm] an.
Entschuldigung aber da stehe ich auf dem Schlau. Wie soll ich das machen also:
[mm]Tv = \lambda v[/mm]
[mm](T*T)v = (\lambda*\lambda)v[/mm]
Ändern sich die Eigenvektoren nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Teufel |
In dem Fall ist v auch ein Eigenvektor der Potenzmatrix! Nehmen wir mal j=2.
Gegeben hast du ja, dass [mm] $Tv=\lambda [/mm] v$ ist.
Dann ist [mm] $T^2*v=(T*T)*v=T*(T*v)=T*(\lambda*v)=\lambda*(T*v)=\lambda^2*v.
[/mm]
Also ist v Eigenvektor von [mm] T^2 [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda^2.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 25.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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