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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Wir betrachten den komplexen Vektorraum Mat(n,C) mit dem Kommutator, dh. der bilinearen Abbildung [ , ]: Mat(n,C) x Mat (n,C) [mm] \to [/mm] Mat(n,C), [A,B]:= A B - B A. Seien [mm] J_{x}, J_{y}, J_{z} \in [/mm] Mat(n,C) mit
[mm] [J_{x}, J_{y}] [/mm] = [mm] iJ_{z}
[/mm]
[mm] [J_{y}, J_{z}] [/mm] = [mm] iJ_{x}
[/mm]
[mm] [J_{z},J_{x}] [/mm] = [mm] iJ_{y}
[/mm]
und V= Span [mm] (J_{x}, J_{y}, J_{z}) [/mm] die lineare Hülle dieser Vektoren. Wir setzten [mm] J_{+-} [/mm] := [mm] J_{x} [/mm] +- [mm] iJ_{y}
[/mm]
a) Beweisen Sie: Ist v [mm] \in [/mm] V Egenvektor von [mm] J_{z} [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda \in [/mm] C, so gilt entweder [mm] J_{+-} [/mm] v = 0 oder [mm] J_{+-}v [/mm] ist Eigenvektor von [mm] J_{z} [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] +- 1 |
Wie immer habe ich hier keinen blassen Schimmer wie und was ich anfangen soll... Es kommen noch drei weitere Beweise... Ich hoffe sehr ihr könnt mir dabei helfen, weil ich die Punkte brauche...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 06.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Es steht doch im Prinzip alles da.
> "Ist [mm] v\in [/mm] V Eigenvektor von [mm] J_{z} [/mm]
> zum Eigenwert [mm] \lambda \in\IC[/mm]"
Was heißt das? Das (und die Abbildung mit all ihren Eigenschaften) darfst du nutzen.
Was kannst du daraus folgern.
> entweder $ [mm] J_{+-} [/mm] v=0$
Was bedeutet das. Das ist eines deiner Ziele.
> oder $ [mm] J_{+-}v [/mm] $ ist Eigenvektor von
> $ [mm] J_{z} [/mm] $ zum Eigenwert $ [mm] \lambda [/mm] $ +- 1
Was bedeutet das? Das ist deine Alternative.
Zeige also anhand deiner Voraussetzungen, dass nur diese beiden Ziele herauskommen können.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
VIelen Dank für deine Bemühung mir das zu erklären, aber mir fehlt dieser Schritt von Erkennen was da steht zu nur das kann rauskommen. Also ich komme nicht auf diesen Beweisschritt. Weil ich auch finde, dass die meisten Beweise für mich nicht wirklich irgendwas beweisen....
Ich hoffe du kannst mir noch weiter helfen...
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Hallo sissenge,
wie Marius schon sagte: Es steht alles da!
Thema: Drehimpulsalgebra (Quantenmechanik)
$v$ ist Eigenvektor von [mm] $J_z$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $\lambda \in \mathbb{C}$ [/mm] heißt:
[mm] $J_z(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v$
Jetzt überprüfen wir, ob $J_+(v)$ ein Eigenvektor von [mm] $J_z$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $1+\lambda$ [/mm] ist, falls $J_+(v) [mm] \neq [/mm] 0$:
[mm] $J_z(J_+(v)) [/mm] = [mm] J_z((J_x [/mm] + [mm] iJ_y)(v)) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] (1+\lambda)J_+(v)$
[/mm]
Durch Einsetzen und Ausnutzen der angegebenen Beziehungen kommt man zum Ziel!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok, darf ich mal eine blöde Frage stellen: was soll [mm] J_{z}(J_{+-}(v)) [/mm] heißen? Also was ist das für ein Ausdruck?? Heißt dass [mm] J_{z} [/mm] mit dem Eigenvektor [mm] (J_{+-}) [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, Du hast zwei komplexe nxn- Matrizen A und B. Damit hast Du auch zwei lineare Abbildungen von [mm] \IC^n [/mm] in sich:
$v [mm] \to [/mm] Av$ und $v [mm] \to [/mm] Bv$ für $v [mm] \in \IC^n.$
[/mm]
Dann ist $A(Bv)) = (A [mm] \circ [/mm] B)(v)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok..
also es steht ja da:
[mm] J_{z}(J_{+-}(v)) [/mm] = [mm] J_{z}((J_{x}+-iJ_{y})(v))=.....=(1+\lambda)J_{+}(v)
[/mm]
Jetzt steht in meiner Definition, dass ich zb. [mm] iJ_{y} [/mm] durch [mm] [J_{z},J_{x}] [/mm] ersetzten kann, aber was bedeutet [mm] [J_{z},J_{x}]?? [/mm] Also in der Aufgabe steht [A,B] = AB-BA
Aber damit komme ich doch nie zu einem Ausdruck mit [mm] (1+\lambda) [/mm] und [mm] J_{+}???
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok..
> also es steht ja da:
>
> [mm]J_{z}(J_{+-}(v))[/mm] =
> [mm]J_{z}((J_{x}+-iJ_{y})(v))=.....=(1+\lambda)J_{+}(v)[/mm]
>
> Jetzt steht in meiner Definition, dass ich zb. [mm]iJ_{y}[/mm] durch
> [mm][J_{z},J_{x}][/mm] ersetzten kann, aber was bedeutet
> [mm][J_{z},J_{x}]??[/mm] Also in der Aufgabe steht [A,B] = AB-BA
Damit ist [mm] [J_{z},J_{x}]= J_zJ_x-J_xJ_z
[/mm]
FRED
> Aber damit komme ich doch nie zu einem Ausdruck mit
> [mm](1+\lambda)[/mm] und [mm]J_{+}???[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
:D Ja darauf wäre ich auch noch gekommen aber ich meinte was bedeutet[ , ].. also ist das eine Abbildung...????
Und wie gesagt wie komme ich auf [mm] (1+\lambda)???
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> :D Ja darauf wäre ich auch noch gekommen aber ich meinte
> was bedeutet[ , ].. also ist das eine Abbildung...????
[A,B] := AB-BA
Das hat nichts mit ABBA aus Schweden zu tun.
FRED
>
> Und wie gesagt wie komme ich auf [mm](1+\lambda)???[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Leider versteh ich auch garnicht, was da alles steht!! Also wo du immer hin geschrieben hast: Was heißt das??
Da habe ich leider keine Ahnung
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