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| Aufgabe | Sei P ein K-VR Endomorphismus. Es gilt [mm] P^2 [/mm] =P
a) Bestimmen sie alle möglichen Eigenwerte
b) Zeigen Sie, das P diagonalisierbar ist |
Guten Tach
zu a)
Es gilt:
[mm] \exists v\in [/mm] V, [mm] \lambda \in \IR: [/mm] P(v) = [mm] \lambda*v
[/mm]
P(P(v)) = [mm] P(\lambda*v)= \lambda*P(v)(da [/mm] P linear)
Nun soll [mm] P^2 [/mm] = P sein [mm] \Rightarrow \lambda=1
[/mm]
Das gilt nur wenn P nicht die Nullabbildung ist ansonsten ist jeder Wert eigenwert (?)
Damit bleibt als möglicher Eigenwert nur 1.
b)
Es gilt [mm] P=P^2. [/mm] Damit gilt auch ker(P) = [mm] ker(P^2). [/mm] Da P ein Endomorphismus ist, kann das nur in zwei Fällen eintreten
1 Fall: [mm] \ker(P) [/mm] = V.
Dieser Fall fällt aus, da P ansonsten die Nullabbildung wäre und jeder Wert eigenwert wäre(nach Aufgabe a) )
2.Fall [mm] \ker(P)=0. [/mm]
Damit ist die [mm] det(P)\not=0. [/mm] Es gilt dann auch det(P)=det(P*P)=det(P)*det(P) [mm] \Rightarrow [/mm] det(P)=1. Die Diagonalmatrix zu P hat auf der Hauptdiagonalen nur einsen. Damit ist die Determinante der Diagonalmatrix auch 1. [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt zur Matrix P eine Diagonalmatrix, die zu P ähnlich ist [mm] \Rightarrow [/mm] P ist diagonalisierbar
Stimmt das so?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 07.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Sei v ein Eigenvektor von P zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] dann gilt
[mm] Pv=\lambda{v} \Rightarrow P^2v=Pv=\lambda{v} [/mm] und [mm] P^2v=\lambda{Pv}=\lambda^2v [/mm] also
[mm] \lambda{v}=\lambda^2v, [/mm] also [mm] \lambda(\lambda-1)v=0, [/mm] d.h. [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \lambda=1 [/mm] sind mögliche Eigenwerte.
> zu a)
> Es gilt:
> [mm]\exists v\in[/mm] V, [mm]\lambda \in \IR:[/mm] P(v) = [mm]\lambda*v[/mm]
> P(P(v)) = [mm]P(\lambda*v)= \lambda*P(v)(da[/mm] P linear)
> Nun soll [mm]P^2[/mm] = P sein [mm]\Rightarrow \lambda=1[/mm]
> Das gilt nur
> wenn P nicht die Nullabbildung ist ansonsten ist jeder
> Wert eigenwert (?)
> Damit bleibt als möglicher Eigenwert nur 1.
mfg ullim
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Es sollte sich doch dann trotzdem nichts an der Argumentation für b) ändern Nullen kommen doch eigentlich nicht auf die Hauptdiagonale oder geht das doch? Danke für die Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 07.04.2007 | | Autor: | blascowitz |
Hat sich erledigt. Danke für die Antwort. Frohe Ostern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 So 08.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
habe gerade gelesen das alls klar ist. Mir ist noch eingefallen, dass Du die Diagonalisierbarkeit auch über das Minimalpolynom beweisen kannst.
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar wenn ihr Minimalpolynom nur einfache Nullstellen besitzt. Das Minimalpolynom einer idempotenten Matrix ist f(x)=x(x-1), also treten nur einfache Nullstellen auf und die Matrix ist diagonalisierbar.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 08.04.2007 | | Autor: | blascowitz |
Ich danke für die Antwort ich hoffe mal, dass die Argumentation zu b richtig ist, wenn nicht immer dagegen argumentieren. Ich danke für die Antwort und wünsche frohe Ostern
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