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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 26.01.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung P einen Eigenwert [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] hat und dass es einen zugehörigen Eigenvektor [mm] \vec{p} [/mm] gibt, für den gilt:
[mm] p_{1}+p_{2}+p_{3}=1 [/mm] mit [mm] p_{1}>0, p_{2}>0, p_{3}>0
[/mm]
Berechnen Sie den zweiten Eigenwert und zwei linear unabhängige Eigenvektoren [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] zu diesem.
Diagonalisieren Sie die Matrix P.
[mm] P:=\pmat{ \bruch{7}{9} & \bruch{1}{9} & \bruch{1}{9} \\ \bruch{1}{9} & \bruch{7}{9} & \bruch{1}{9} \\ \bruch{1}{9} & \bruch{1}{9} & \bruch{7}{9}} [/mm] |
Hallo!
Also vorweg gesagt, eigentlich hatte ich nie Probleme mit der Berechnung von Eigenwerten/-vektoren.
Umso verzweifelter bin ich, dass ich nicht auf den Eigenwert [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] komme. Wenn ich det(P) ausrechne komme ich auf folgendes Ergebnis für das charakteristische Polynom:
[mm] p(\lambda)=(\bruch{7}{9}-\lambda)^3-\bruch{3}{81}*\lambda-\bruch{19}{729}
[/mm]
Rechenfehler oder Denkfehler?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Di 26.01.2010 | | Autor: | stffn |
Ich meinte natürlich, dass ich [mm] det(P-\lambda*I) [/mm] für das char. pol. ausgerechnet habe.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Di 26.01.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, ich habe einen Vorzeichenfehler gefunden.
Das Polynom heißt:
[mm] p(\lambda)=(\bruch{7}{9}-\lambda)^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{81}*\lambda-\bruch{19}{729}
[/mm]
Damit stimmt das mit dem EW [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] auch.
Ein dazu gehöriger EV ist dann
[mm] \vec{p}=\vektor{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{2}{5} \\ \bruch{3}{5}}
[/mm]
Wenn ich jetzt die Bedingung [mm] p_{1}+p_{2}+p_{3}=1 [/mm] erfüllen möchte, komme ich auf den Vektor
[mm] \vec{p}=\vektor{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{4}{15} \\ \bruch{6}{15}}
[/mm]
Ist das richtig bis dahin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich habe einen Vorzeichenfehler gefunden.
> Das Polynom heißt:
>
> [mm]p(\lambda)=(\bruch{7}{9}-\lambda)^3[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{81}*\lambda-\bruch{19}{729}[/mm]
>
> Damit stimmt das mit dem EW [mm]\lambda_{1}=1[/mm] auch.
> Ein dazu gehöriger EV ist dann
> [mm]\vec{p}=\vektor{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{2}{5} \\ \bruch{3}{5}}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Bedingung [mm]p_{1}+p_{2}+p_{3}=1[/mm] erfüllen
> möchte, komme ich auf den Vektor
>
> [mm]\vec{p}=\vektor{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{4}{15} \\ \bruch{6}{15}}[/mm]
>
> Ist das richtig bis dahin?
Alles richtig
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Di 26.01.2010 | | Autor: | stffn |
Sehr schön, so schnell kanns gehen. danke!
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