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Hallo,
ich bin mir wieder ein wenig unsicher, ob mein Beweis richtig ist, da die Musterlösung von meiner etwas abweicht.
Aufgabe: Sei [mm] \Phi [/mm] ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen unitären Vektorraums V [mm] \not= \{0\} [/mm] mit der Adjungierten [mm] \Phi^{+} [/mm] = [mm] -\Phi. [/mm] Zeigen Sie:
Alle Eigenwerte von [mm] \Phi [/mm] haben die Form [mm] \mathit{i}c [/mm] mit c [mm] \in \IR.
[/mm]
Mein Beweis: (< * , * > bezeichne das Skalarprodukt auf V)
Zunächst habe ich mir mal überlegt, was [mm] \Phi^{+} [/mm] = [mm] -\Phi [/mm] für alle Elemente aus V bedeutet.
Sei x, y [mm] \in [/mm] V. Dann gilt:
[mm] <\Phi(x), [/mm] y> = <x, [mm] -\Phi(y)> \gdw <\Phi(x), [/mm] y> = - <x, [mm] \Phi(y)> \gdw <\Phi(x), [/mm] y> + <x, [mm] \Phi(y)> [/mm] = 0.
Okay. Nun nehme ich mir ein Eigenwert von [mm] \Phi [/mm] und nenne diesen z [mm] \in \IC [/mm] mit z := a + [mm] \mathit{i}b [/mm] mit a, b [mm] \in \IR. [/mm] Zu diesem Eigenwert existiert ein Vektor v [mm] \in [/mm] V, der Eigenvektor zu z. v kann und darf nicht Null sein.
Für v gilt dann:
[mm] <\Phi(v), [/mm] v> + <v, [mm] \Phi(v)> [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] (v Eigenvektor [mm] \Rightarrow \Phi(v) [/mm] = zv)
<zv, v> + <v, zv> = 0
So, die nächste Umformung wird spannend. Für Skalarprodukte eines unitären Vektorraumes gelten ja besondere Rechenregeln. < * , * > ist im ersten Argument linear und im zweiten Argument auch. Jedoch muss ein "skalarer" Faktor, der aus dem zweiten Argument des Skalarproduktes gezogen wird, komplex konjugiert werden. Also:
<zv, v> + <v, zv> = 0 [mm] \gdw
[/mm]
z <v, v> + [mm] \overline{z} [/mm] <v, v> = 0 [mm] \gdw
[/mm]
<v, v>(z + [mm] \overline{z}) [/mm] = 0
<v, v> ist sicher ungleich 0. Also:
<v, v>(z + [mm] \overline{z}) [/mm] = 0 [mm] \gdw
[/mm]
z + [mm] \overline{z} [/mm] = 0 [mm] \gdw
[/mm]
a + [mm] \mathit{i}b [/mm] + [mm] \overline{a + \mathit{i}b} [/mm] = 0 [mm] \gdw
[/mm]
a + [mm] \mathit{i}b [/mm] + a - [mm] \mathit{i}b [/mm] = 0 [mm] \gdw
[/mm]
[mm] 2a(\mathit{i}b [/mm] - [mm] \mathit{i}b) [/mm] = 0 [mm] \gdw
[/mm]
2a = 0 [mm] \gdw [/mm] a = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] z hat die Form z = 0 + [mm] \mathit{i}b [/mm] = [mm] \mathit{i}b. [/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
Richtig? Vielleicht etwas sehr ausführlich. Die Musterlösung ist da sehr viel kürzer. Stimmt meine Lösung dennoch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Prima, alles richtig !!
Hattet Ihr schon, dass selbstadjungierte Abbildungen nur reelle Eigenwerte haben ?
Wenn ja, so kann man obige Beh. ganz kurz beweisen:
Sei also $ [mm] \Phi^{+} [/mm] $ = $ [mm] -\Phi. [/mm] $. Setze [mm] $\Psi [/mm] = i [mm] \Phi$
[/mm]
Dann ist [mm] \Psi^+ [/mm] = [mm] \Psi, [/mm]
[mm] \Psi [/mm] hat also nur reelle Eigenwerte. Was folgt dann wohl für [mm] \Phi [/mm] ?
FRED
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