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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Fr 05.07.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und eigenvektoren von f, wenn
A=
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
2 & -2
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich habe mal eine Frage als charak.polynom habe ich [mm] x^2+x+2 [/mm] raus, was auch stimmen müsste.
dann als Eigenwerte habe ich
[mm] Ew_1= -\bruch{1}{2}+i \wurzel{\bruch{7}{4}}
[/mm]
[mm] Ew_2=-\bruch{1}{2}-i \wurzel{\bruch{7}{4}}
[/mm]
die müssten glaube ich auch stimmen. Nur wie berechne ich jetzt die Eigenvektoren.
Wenn ich die Eigenwerte nun einsetzen würde bekomme ich nur mist raus.
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Hallo capri,
> Bestimmen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und
> eigenvektoren von f, wenn
> A=
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
2 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> Hallo,
> ich habe mal eine Frage als charak.polynom habe ich
> [mm]x^2+x+2[/mm] raus, was auch stimmen müsste.
>
> dann als Eigenwerte habe ich
> [mm]Ew_1= -\bruch{1}{2}+i \wurzel{\bruch{7}{4}}[/mm]
>
> [mm]Ew_2=-\bruch{1}{2}-i \wurzel{\bruch{7}{4}}[/mm]
>
> die müssten glaube ich auch stimmen. Nur wie berechne ich
> jetzt die Eigenvektoren.
>
Die Eigenwerte stimmen auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich die Eigenwerte nun einsetzen würde bekomme ich
> nur mist raus.
>
Poste hierzu Deine Rechnung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 05.07.2013 | | Autor: | capri |
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{3}{2}-x-i\wurzel{\bruch{7}{4}} & -2 \\
2 & -\bruch{3}{2}-x+i\wurzel{\bruch{7}{4}}
\end{pmatrix}
[/mm]
dann die erste mal 2 und die zweite mal 3/2usw anschli. II-I
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{3}{2}-x-i\wurzel{\bruch{7}{4}} & -2 \\
0 & x^2+\bruch{1}{2}x-\bruch{5}{4}+2(i\wurzel{\bruch{7}{4}}x)
\end{pmatrix}
[/mm]
ja und das scheint mir falsch zu sein, wenn es richtig ist feier ich mich heute abend haha spaß bei Seite, kann es bitte einer nachgucken :)
als nächsten schritt würde ich [mm] x_2 [/mm] ausrechnen aber wie?
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> [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{3}{2}-x-i\wurzel{\bruch{7}{4}} & -2 \\
2 & -\bruch{3}{2}-x+i\wurzel{\bruch{7}{4}}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> dann die erste mal 2 und die zweite mal 3/2usw anschli.
> II-I
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{3}{2}-x-i\wurzel{\bruch{7}{4}} & -2 \\
0 & x^2+\bruch{1}{2}x-\bruch{5}{4}+2(i\wurzel{\bruch{7}{4}}x)
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> ja und das scheint mir falsch zu sein, wenn es richtig ist
> feier ich mich heute abend
Hallo,
die Feier muß noch einen kleinen Moment warten, aber der Tag ist ja noch lang.
Ein x hat in der Matrix grad mal gar nichts zu suchen!
Du hattest zur Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
2 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
die beiden Eigenwerte
[mm] \lambda_1= -\bruch{1}{2}+i \wurzel{\bruch{7}{4}} [/mm] und
[mm] \lambda_2=-\bruch{1}{2}-i \wurzel{\bruch{7}{4}}
[/mm]
berechnet.
Die zugehörigen Eigenvektoren bekommst Du, indem Du
[mm] Kern(A-\lambda_iE) [/mm] berechnest.
Für
[mm] \lambda_1=-\bruch{1}{2}+i \wurzel{\bruch{7}{4}}=-\bruch{1}{2}+\bruch{i}{2}\wurzel{7}
[/mm]
ist also die Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix}
1-(-\bruch{1}{2}+\bruch{i}{2}\wurzel{7}) & -2 \\
2 & -2-(-\bruch{1}{2}+\bruch{i}{2}\wurzel{7})
\end{pmatrix}
[/mm]
zu bearbeiten, dh. ihr Kern zu bestimmen.
LG Angela
> haha spaß bei Seite, kann es
> bitte einer nachgucken :)
> als nächsten schritt würde ich [mm]x_2[/mm] ausrechnen aber wie?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 05.07.2013 | | Autor: | capri |
aaaah blöder fehler
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}}& -2 \\
2 & -\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}}
\end{pmatrix}
[/mm]
nun hab ich ein anderes Problem wenn ich die zeilen miteinander multiplizieren und danach subtrahieren würde bekomme ich eine Nullzeile? also sind die ja linear abhängig.
wie rechne ich dann den kern aus? bzw löse das GLS?
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Hallo capri,
> aaaah blöder fehler
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}}& -2 \\
2 & -\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> nun hab ich ein anderes Problem wenn ich die zeilen
> miteinander multiplizieren und danach subtrahieren würde
> bekomme ich eine Nullzeile? also sind die ja linear
> abhängig.
Das ist richtig.
Dann kannst Du eine Variable frei wählen.
> wie rechne ich dann den kern aus? bzw löse das GLS?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 05.07.2013 | | Autor: | capri |
dann habe ich
[mm] x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})-4x_2=0
[/mm]
[mm] x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})=4x_2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})=x_2
[/mm]
[mm] \bruch{3}{8}x_1+\bruch{1}{4}x_1\bruch{i}{4}\wurzel{\bruch{7}{4}}=x_2
[/mm]
und nun würde ich nicht weiter wissen.
[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{3}{8}x_1+\bruch{1}{4}x_1i\wurzel{\bruch{7}{4}}\\ 1x_1 \\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] x_1 \begin{pmatrix} \bruch{3}{8}+\bruch{1}{4}i\wurzel{\bruch{7}{4}}\\ 1 \\ \end{pmatrix} [/mm] = ker(A)
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Hallo capri,
> dann habe ich
>
> [mm]x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})-4x_2=0[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})-\blue{2}x_2=0[/mm]
> [mm]x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})=4x_2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4} x_1(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{7}{4}})=x_2[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{8}x_1+\bruch{1}{4}x_1\bruch{i}{4}\wurzel{\bruch{7}{4}}=x_2[/mm]
>
>
> und nun würde ich nicht weiter wissen.
>
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{3}{8}x_1+\bruch{1}{4}x_1i\wurzel{\bruch{7}{4}}\\ 1x_1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]x_1 \begin{pmatrix} \bruch{3}{8}+\bruch{1}{4}i\wurzel{\bruch{7}{4}}\\ 1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> = ker(A)
Nach obiger Korrektur lautet der Eigenvektor:
[mm]\begin{pmatrix} \bruch{3}{\blue{4}}+\bruch{1}{\blue{2}}i\wurzel{\bruch{7}{4}}\\ 1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Fr 05.07.2013 | | Autor: | capri |
ok, danke das mit dem zweiten Vektor kriege ich hin.
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