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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Do 24.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
A= [mm] \pmat{0&2&0 \\2&2&-2 \\ 0&-2&0 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A
b) Finden Sie eine Basis für jeden Eigenraum
C) Bestimmen Sie eine Matrix T, sodass [mm] D=T^{-1}*A*T [/mm] eine diagonalmatrix ist. Finden Sie die Matrix D |
Hallo zusammen!
Hab mal punkt a) gelöst, komme da auf eigenwerte von [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0, [mm] \lambda_{2} [/mm] = 4 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = -2
die dazugehörigen Eigenvektoren sind bei mir
für [mm] \lambda_{1} \rightarrow t*\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
für [mm] \lambda_{2} \rightarrow t*\vektor{-1\\-2\\1}
[/mm]
für [mm] \lambda_{3} \rightarrow t*\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
hoffe das stimmt soweit.
wie löse ich nun die aufgaben b und c? könnte mir da bitte jemand einen kleinen tipp geben, komme irgendwie nicht drauf, das mit basis usw. is irgendwie nicht so meins...
vielen vielen dank,
lg markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Matrix
>
> A= [mm]\pmat{0&2&0 \\2&2&-2 \\ 0&-2&0 }[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A
> b) Finden Sie eine Basis für jeden Eigenraum
> C) Bestimmen Sie eine Matrix T, sodass [mm]D=T^{-1}*A*T[/mm] eine
> diagonalmatrix ist. Finden Sie die Matrix D
> Hallo zusammen!
>
> Hab mal punkt a) gelöst, komme da auf eigenwerte von
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 0, [mm]\lambda_{2}[/mm] = 4 und [mm]\lambda_{3}[/mm] = -2
Stimmt.
>
> die dazugehörigen Eigenvektoren sind bei mir
>
> für [mm]\lambda_{1} \rightarrow t*\vektor{1\\0\\1}[/mm]
Stimmt
> für
> [mm]\lambda_{2} \rightarrow t*\vektor{-1\\-2\\1}[/mm]
Stimmt
> für
> [mm]\lambda_{3} \rightarrow t*\vektor{0\\0\\0}[/mm]
Stimmt nicht !
Der Nullvektor ist kein Eigenvektor !
> hoffe das
> stimmt soweit.
>
> wie löse ich nun die aufgaben b
Zum Beispiel ist [mm] \{\vektor{1\\0\\1}\} [/mm] eine Basis des zu [mm] \lambda_1 [/mm] geh. Eigenraumes
> und c?
Bestimme erstmal die zu [mm] \lambda_3 [/mm] geh. Eigenvektoren. Dann sehen wir weiter
FRED
> könnte mir da
> bitte jemand einen kleinen tipp geben, komme irgendwie
> nicht drauf, das mit basis usw. is irgendwie nicht so
> meins...
>
> vielen vielen dank,
>
> lg markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Do 24.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok sry, hab den fehler gefunden,
eigenvektor für [mm] \lambda_{3}=\vektor{1\\-1\\1}
[/mm]
wie gehts denn nun weiter mit b) und c)?
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> ok sry, hab den fehler gefunden,
>
> eigenvektor für [mm]\lambda_{3}=\vektor{1\\
-1\\
1}[/mm]
>
> wie gehts denn nun weiter mit b) und c)?
Hallo,
Deine Eigenwerte und -vektoren habe ich nicht geprüft.
Aufgabe b) hast Du schon erledigt.
Du hast festgestellt, daß der Eigenraum [mm] E_0 [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] die Dimension 1 hat, und der von Dir genannte Eigenvektor zum EW 0 ist eine Basis des Eigenraumes zum EW 0.
Die anderen Eigenräume entsprechend.
c) Du kannst anhand dessen, was Du in der Vorlesung gelernt hast, feststellen, daß Deine Matrix A diagonalisierbar ist.
Die gesuchte Diagonalmatrix hat die Eigenwerte auf ihrer Diagonalen.
A ist die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bzgl. der Standardbasis, und die Diagonalmatrix ist die Darstellungsmatrix bzgl der Basis des [mm] \IR^3, [/mm] welche aus den drei von Dir berechneten Eigenvektoren besteht.
Die Basistransformationsmatrix T bekommst Du, indem Du einfach die drei Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix stellst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Do 24.11.2011 | | Autor: | mwieland |
also einfach die 3 eigenvektoren in eine matrix schreiben und c ist gelöst?
kannst du mir das mit den basen eigenräumen auch noch einfacher erklären? verstehe das noch nicht so ganz... was ist denn ein eigenraum und eine basis? steht zwar schon im skript bei mir, aber blick da nicht so ganz durch...
vielen dank, lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> also einfach die 3 eigenvektoren in eine matrix schreiben
> und c ist gelöst?
Ja. Die matrix die Du auf diese Weise bekommst ist das gesuchte T in $ [mm] D=T^{-1}\cdot{}A\cdot{}T [/mm] $. D sollst Du noch ausrechnen.
>
>
> kannst du mir das mit den basen eigenräumen auch noch
> einfacher erklären? verstehe das noch nicht so ganz... was
> ist denn ein eigenraum und eine basis?
Sei A eine nxn - Matrix über einem Körper K
Ist [mm] \lambda \in [/mm] K ein Eigenwert von A, so ist der zugeh. Eigenraum def. durch
[mm] $\{x \in K^n:Ax= \lambda*x\}$
[/mm]
Das ist ein Untervektorraum von [mm] K^n.
[/mm]
FRED
> steht zwar schon im
> skript bei mir, aber blick da nicht so ganz durch...
>
> vielen dank, lg
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