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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mo 14.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo zusammen! Diesmal sind es zwei Aufgaben zum Thema Eigenwerte die mir Kopfschmerzen bereiten wie immer bin ich für alle Tipps und Hinweise dankbar:
Aufgabe 1
es sei J: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus eines endlich.-dim. Vektorraumes V über [mm] \IR [/mm] mit [mm] J^{2} [/mm] = -I
(i) Mann bestimme alle Eigenwerte von J
(ii) Mann zeige: Zu jedem v [mm] \in [/mm] V, v [mm] \not= [/mm] 0 existiert ein zweidim. Unterraum U [mm] \subset [/mm] V mit v [mm] \in [/mm] U, so dass J(U) = U
Aufgabe 2
A,B Endomorphismen V [mm] \to [/mm] V so dass AB = BA. Mann zweige A und B haben einen gemeinsamen Eigenwert . Dann schon mal Danke!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt!
"Du hast doch nicht geglaubt dass es so leicht sein würde oder?"
"Weißt du für eine Sekunde ja, da dachte ich es!"
KILL BILL VOL. 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 14.03.2005 | | Autor: | taura |
> Aufgabe 1
>
> es sei J: V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus eines endlich.-dim.
> Vektorraumes V über [mm]\IR[/mm] mit [mm]J^{2}[/mm] = -I
>
> (i) Mann bestimme alle Eigenwerte von J
Also aus [mm]J^2=-I[/mm] folgt ja:
[mm]J(J(v))=-v[/mm]
Gesucht werden nun alle [mm]\lambda[/mm] so dass gilt:
[mm]J(v)=\lambda v[/mm]
Nehme an, es gäbe ein solches [mm]\lambda[/mm]und ein [mm]v \not= 0[/mm], dann folgt:
[mm]J(v)=\lambda v[/mm]
[mm]\Rightarrow J(J(v))=J(\lambda v)[/mm]
[mm]\Rightarrow -v = \lambda J(v) [/mm]
[mm]\Rightarrow -v = \lambda \lambda v[/mm]
[mm]\Rightarrow -v = \lambda^2v[/mm]
[mm]\Rightarrow -1 = \lambda^2[/mm]
Da wir uns aber in [mm]\IR[/mm] befinden, hat diese Gleichung keine Lösung, es kann also kein [mm]\lambda[/mm] geben.
Es folgt also, dass J keine Eigenwerte hat.
Hoffe ich konnte dir weiterhelfen, wenn was unklar ist, frag einfach nochmal nach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 14.03.2005 | | Autor: | taura |
> Aufgabe 1
>
> es sei J: V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus eines endlich.-dim.
> Vektorraumes V über [mm]\IR[/mm] mit [mm]J^{2}[/mm] = -I
>
> (ii) Mann zeige: Zu jedem v [mm]\in[/mm] V, v [mm]\not=[/mm] 0 existiert
> ein zweidim. Unterraum U [mm]\subset[/mm] V mit v [mm]\in[/mm] U, so dass
> J(U) = U
Betrachte [mm] U=\left \langle J(v),v \right \rangle[/mm].
Vielleicht kommst du selbst drauf, warum dieses U deine geforderten Bedingungen immer erfüllt?
Was muss erfüllt sein, damit U zweidimensoinal ist und warum gilt das immer?
Was passiert, wenn dieses U unter J abgebildet wird?
Ich hoffe, du kommst jetzt mit der Aufgabe weiter, wenn nicht, meld dich nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Neben diesen wirklich tollen Hinweise von Taura möchte ich noch kurz anmerken, dass hier (beim Beweis der Zweidimensionalität) Aufgabenteil (i) ganz hilfreich sein könnte. 
Und für die Zukunft: Bitte eigene Ansätze mitliefern... Oder aber konkretere Fragen...
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mo 14.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo Stefan
Es tut mir leid dass ich so gewirkt habe als wenn ich nur die Lösung der Aufgabe abstauben wollte. Ich lerne für gerade für eine Klausur und da treten nun mal leider gehäuft Fragen auf. Da ich leider aus Rücksicht auf die Nerven der lieben Menschen in diesem Forum nicht jede einzelne Frage posten möchte stelle ich meist nur die die bei dennen ich in völliger Ratlosigkeit versinke. Natürlich hätte ich meine Probleme konkreter schildern können und müssen. Und dafür wollt ich mich einfach noch mal Entschuldigen. Werde mir in Zukunft mehr Mühe geben. Denn ich bin auf die Hilfe der Antwoten angewiesen und hoffe dass ich eines Tages gut genug werde um selber Anworten zu können. Also nochmal Danke für die Anwort! Soll ich dann vielleicht zu meiner 2 Aufgabe meine Probleme nochmal genauer darstellen?
nochmal Danke mr coffee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 14.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo Taura
Danke war ne super Antwort und es gab keine Probleme, aber wie hast du selber deinen Ansatz gesucht, wobei mich das vorallem bei (i) interessiert. Ich habe nämlich immer wieder den Fehler gemacht mir zu überlegen wie so eine Abbildung konkret aussehen könnte. Mir fehlt oft bei den Aufgaben der Blick in die richtige Richtung. Naja auf jeden fall einen lieben Dank! Bis dann Mr Coffee
Wer die Wahrheit nicht weiß, der ist bloß ein Dummkopf.
Aber wer sie weiß und sie eine Lüge nennt, der ist ein Verbrecher!
Brecht - Das Leben des Galilei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mo 14.03.2005 | | Autor: | taura |
Das stimmt soweit, was Stefan sagt. Ich hab einfach versucht, das, was gegeben ist, irgendwie so in das reinzubasteln, was gesucht ist, dass ich am Ende auf ein Ergebnis komme. Aber ich verstehe deine Probleme, so geht es mir auch oft, dass man zu kompliziert ansetzt und dann nicht weiter kommt. Was mir hier geholfen hat, war dass ich eine ähnliche Aufgabe schon kannte, und ich glaube das ist (vor allem in L.A.) das beste Rezept, möglichst viele Aufgaben schon mal durchgerechnet zu haben, dann besteht Hoffnung, dass in der Klausur was ähnliches drankommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 14.03.2005 | | Autor: | taura |
Also, kann das sein, dass die Aufgabenstellung von Aufgabe 2 so nicht ganz stimmt? Meiner Meinung nach fehlt da erstens der Zusatz, dass V ein VR über [mm]\IC[/mm] ist, und zweitens, müsste nicht ein gemeinsamer Eigenvektor statt eines gemeinsamen Eingenwertes gesucht sein?
Wenn dem so ist, dann hab ich mir an dieser Aufgabe auch schon die Zähne ausgebissen...
Ich hab zwar einen Ansatz, bewiesen hab ichs nicht:
Also man weiß ja, dass A auf jeden Fall einen Eigenwert, also auch einen Eigenvektor hat (eben weil das ganze in [mm]\IC[/mm] spielt) also gilt:
[mm]A(v_1)=\lambda_1 v_1[/mm]
[mm]\Rightarrow A(B(v_1))=B(A(v_1))=B(\lambda_1 v_1)=\lambda_1 B(v_1)[/mm]
Also sind [mm]v_1[/mm] und [mm]B(v_1)[/mm] beides Eigenvektoren von A zum selben Eigenwert.
So weiter bin ich aber leider nicht gekommen, vielleicht könnte da mal noch jemand anderes einspringen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:49 Di 15.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Taura!
Da du hier immer so nett und gut hilfst, will ich dir die Aufgabe einmal erklären. 
Du hast Recht. Man muss mehr voraussetzen, und zwar, dass $B$ einen Eigenwert [mm] $\mu$ [/mm] besitzt und die Diagonalisierbarkeit von $A$.
Man will dann zeigen, dass unter der Voraussetzung $AB=BA$ ein gemeinsamer Eigenvektor von $A$ und $B$ existiert.
Im übrigen folgt aus deinem Beweis nicht, dass mit $x$ auch $Bx$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist, denn es könnte ja auch $Bx=0$ sein. Aber in jedem Fall folgt $Bx [mm] \in Eig_{\lambda}(A)$.
[/mm]
So, jetzt sei [mm] $\mu$ [/mm] ein beliebiger Eigenwert von $B$ mit Eigenvektor $y$.
Dann lässt sich $y$ wie folgt eindeutig schreiben:
$y= [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i$
[/mm]
mit
[mm] $x_i \in Eig_{\lambda_i}(A)$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\mu \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i [/mm] = [mm] \mu [/mm] y = By =B [mm] \left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i Bx_i$.
[/mm]
Wie du selber gezeigt hast, gilt: [mm] $Bx_i \in Eig_{\lambda_i}(A)$.
[/mm]
Daraus folgt für ein [mm] $\lambda_i x_i\ne [/mm] 0$ wegen $V = [mm] \bigoplus\limits_{i=1}^n Eig_{\lambda_i}(A)$:
[/mm]
[mm] $Bx_i [/mm] = [mm] \mu\, x_i$,
[/mm]
was zu zeigen war, denn [mm] $x_i$ [/mm] ist gemeinsamer Eigenvektor von $A$ und $B$.
Man braucht die Diagonalisierbarkeit von $A$ und die Existenz eines Eigenwertes von $B$!!!
Viele Grüße
Stefan
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