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| Aufgabe | Es sei [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 9 }
[/mm]
a) Zeige: A ist diagonalisierbar
b) Bestimme Eigenwerte und Eigenräume von A und ein [mm] S\inGL(2,\IR) [/mm] mit [mm] S^{-1}AS= [/mm] Diagonalmatrix
c) Berechne [mm] A^{2008} [/mm] |
Hallo zusammen
hänge gerade an der aufgabe und komm nich so richtig weiter.
bei a) hab ich det [mm] (A-TE_{2}) [/mm] berechnet und bin auf (1-T)(9-T)-4 gekommen. Als Nullstellen bzw. Eigenwerte dann [mm] 5+\wurzel{20} [/mm] und [mm] 5-\wurzel{20}
[/mm]
Also is sie diagonalisierbar, weil ich für ne 2x2 Matrix 2 verschiedene EWe rausgekriegt hab, oder?
b) die Eigenwerte hab ich ja schon. (auch wenn die nich so aussehen, als ob sie stimmen) Eigenvektoren krieg ich dann auch hin, aber ich versteh nich, was ich machen muss, um auf das S zu kommen.
c) Hab ich leider gar keine Ahnung, wie ich da anfangen muss. Bei der Aufgabenstellung hat man natürlich auch kein stichwort, wonach man das forum durchsuchen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen dank schonmal
Gruß Zwetschke
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Hallo Zwetschke123,
> Es sei [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 9 }[/mm]
> a) Zeige: A ist
> diagonalisierbar
> b) Bestimme Eigenwerte und Eigenräume von A und ein
> [mm]S\inGL(2,\IR)[/mm] mit [mm]S^{-1}AS=[/mm] Diagonalmatrix
> c) Berechne [mm]A^{2008}[/mm]
> Hallo zusammen
>
> hänge gerade an der aufgabe und komm nich so richtig
> weiter.
>
> bei a) hab ich det [mm](A-TE_{2})[/mm] berechnet und bin auf
> (1-T)(9-T)-4 gekommen. Als Nullstellen bzw. Eigenwerte dann
> [mm]5+\wurzel{20}[/mm] und [mm]5-\wurzel{20}[/mm]
> Also is sie diagonalisierbar, weil ich für ne 2x2 Matrix 2
> verschiedene EWe rausgekriegt hab, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) die Eigenwerte hab ich ja schon. (auch wenn die nich so
> aussehen, als ob sie stimmen) Eigenvektoren krieg ich dann
> auch hin, aber ich versteh nich, was ich machen muss, um
> auf das S zu kommen.
naja, die Matrix $S$ ist ja die transformierende Matrix, stopfe die Eigenvektoren, die du (noch) nicht berechnet hast als Spalten in die Matrix $S$ ...
Dann wild rechnen und [mm] $S^{-1}$ [/mm] bestimmen ...
>
> c) Hab ich leider gar keine Ahnung, wie ich da anfangen
> muss. Bei der Aufgabenstellung hat man natürlich auch kein
> stichwort, wonach man das forum durchsuchen könnte.
Potenzen von $A$ direkt zu berechnen, ist natürlich Wahnsinn 
Darum ja auch das Theater mit dem Diagonalisieren.
Wenn [mm] $D=S^{-1}AS$ [/mm] ist, so ist [mm] $A=SDS^{-1}$
[/mm]
Damit [mm] $A^n=(SDS^{-1})^n=[\underbrace{(SDS^{-1})(SDS^{-1})(SDS^{-1})....((SDS^{-1})}_{n-mal}]=SD^nS^{-1}$
[/mm]
Und Potenzen einer Diagonalmatrix kann man ja leicht berechnen...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Vielen dank schonmal
>
> Gruß Zwetschke
>
LG
schachuzipus
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Nabend
danke für die schnelle Antwort. Ich hab die Eigenvektoren ausgerechnet. [mm] ker(A-EW_{i}) [/mm] is das, ne?
hab dann da [mm] v_{1}=\vektor{\bruch{-2}{-4-\wurzel{20}} \\\bruch{4+\wurzel{20}}{-2} } [/mm] raus. das kann ja nich stimmen. Sind denn meine eigenwerte richtig?
Das mit den Potenzen hab ich jetzt glaub ich verstanden, aber mit den Eigenvektoren wird das wohl nich so einfach. Hab den fehler bis jetzt aber noch nich gefunden.
Gruß Zwetschke
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Hallo nochmal,
> Nabend
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> danke für die schnelle Antwort. Ich hab die Eigenvektoren
> ausgerechnet. [mm]ker(A-EW_{i})[/mm] is das, ne?
Eine Basis desselben, ja, bzw. eine Basis von [mm] $ker(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_2)$ [/mm] mit [mm] $\lambda_i$ [/mm] die obigen Eigenwerte
> hab dann da [mm]v_{1}=\vektor{\bruch{-2}{-4-\wurzel{20}} \\\bruch{4+\wurzel{20}}{-2} }[/mm]
> raus. das kann ja nich stimmen. Sind denn meine eigenwerte
> richtig?
Ja, die stimmen, diese komischen Brüche bei den Eigenvektoren sind auch nahe an den richtigen Ausdrücken!
Du hast nur beide Eigenvektoren durcheinandergewürfelt und deren 1. Komponente in einen Vektor gepackt, die jeweils 2.Komponente der beiden Eigenvektoren hast du "unter den Tisch gekehrt"
Zum Eigenwert [mm] $\lambda_1=5+\sqrt{20}$ [/mm] ergibt sich der Eigenvektor [mm] $v_{\lambda_1}=\vektor{\frac{-2}{-4-\sqrt{20}}\\1}$, [/mm] bzw. wenn wir die -1 noch gegeneinander kürzen: [mm] $v_{\lambda_1}=\vektor{\frac{2}{4+\sqrt{20}}\\1}$
[/mm]
Zum Eigenwert [mm] $\lambda_2=5-\sqrt{20}$ [/mm] ergibt sich entsprechend der Eigenvektor [mm] $v_{\lambda_2}=\vektor{\frac{2}{4-\sqrt{20}}\\1}$
[/mm]
Nun stopfst du [mm] $v_{\lambda_1}, v_{\lambda_2}$ [/mm] als Spalten in deine transformierende Matrix $S$, also
[mm] $S=\pmat{\frac{2}{4+\sqrt{20}}&\frac{2}{4-\sqrt{20}}\\1&1}$
[/mm]
Nun beginnt der lästige Teil, die Matrix $S$ gilt es nun zu invertieren ...
Viel Spaß dabei
> Das mit den Potenzen hab ich jetzt glaub ich verstanden,
> aber mit den Eigenvektoren wird das wohl nich so einfach.
> Hab den fehler bis jetzt aber noch nich gefunden.
>
> Gruß Zwetschke
LG
schachuzipus
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Hallo
das invertieren is allerdings lästig.
Auf dein Ergebnis für die Eigenvektoren bin ich jetzt auch gekommen. hatte da bei dem kern was falsch verstanden.
Ich hab für die inverse [mm] \pmat{ 4-11/\wurzel{20} & 1/2 -2/\wurzel{20} \\ 1/\wurzel{20} & 1/2 -2/\wurzel{20}} [/mm] raus. nach multiplikation der 3 matrizen, kam dann aber nur noch mist raus. wahrscheinlich is meine inverse schon falsch.
Das Prinzip hab ich aber jetzt verstanden.
Danke
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