Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Di 05.06.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute,
wenn ich eine lin.abb f gegeben habe und ich weiß, dass
[mm] f-\lambda*id [/mm] invertierbar ist für alle [mm] \lambda
[/mm]
dann weiß ich ja auch, dass [mm] Kern(f-\lambda*id)=0
[/mm]
für alle [mm] \lambda.
[/mm]
In der Volesung haben wir jetzt daraus gefolgert, dass 0 der einzige EW ist aber ich weiß gar nicht warum.
bedeutet dies nicht eher, dass es keinen EW gibt?
der zusammenhang ist folgender:
Man möchte zeigen, dass wenn f nilpotent ist, das char.Polynom die form [mm] \pm t^{dim(V)} [/mm] hat
selbst wenn 0 der einzige EW ist, woher weiß ich, dass das char. Polynom in lin.Faktoren zerfällt nur mit der voraussetzung, dass f nilpotent ist?
hat da von euch jemand eine idee?
Gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Di 05.06.2007 | | Autor: | barsch |
> hey leute,
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> wenn ich eine lin.abb f gegeben habe und ich weiß, dass
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> [mm]f-\lambda*id[/mm] invertierbar ist für alle [mm]\lambda[/mm]
>
> dann weiß ich ja auch, dass [mm]Kern(f-\lambda*id)=0[/mm]
>
> für alle [mm]\lambda.[/mm]
Ist [mm]f-\lambda*id[/mm] invertierbar, so weißt du, die einzige Lösung zu
[mm]f-\lambda*id=0[/mm] ist der Nullvektor.
Naja, dann sehen wir uns das doch einmal an:
Sei dim V = n, [mm] T\in [/mm] Hom(V).
[mm] (T-0*id)^q=T^q=0 \Rightarrow p_T(\lambda)=\lambda^n=0 \Rightarrow [/mm] einziger Eigenwert der das erfüllt ist [mm] \lambda=0 [/mm] mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit n.
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 05.06.2007 | | Autor: | AriR |
ehrlichgesagt verstehe ich das immer noch nicht so genau :(
was genau ist dieses q? der nilpotenzindex?
selbst wenn ja, weiß ich immer noch nicht genau, was du da unten genau machst.
ich sehe das immer noch so:
wenn [mm] f-\lambda*id [/mm] invertierbar ist,
ist jeder eingenraum [mm] E_f(\lambda)=0
[/mm]
d.h. doch das die abbildung keine EW hat, weil zu jedem lambda würde es nur den EV 0 geben, der nicht als EV zugelassen ist, somit gibt es zu keinem [mm] \lambda [/mm] einen EV und d.h. es gibt keine EW
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> wenn ich eine lin.abb f gegeben habe und ich weiß, dass
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> [mm]f-\lambda*id[/mm] invertierbar ist für alle [mm]\lambda[/mm]
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> dann weiß ich ja auch, dass [mm]Kern(f-\lambda*id)=0[/mm]
>
> für alle [mm]\lambda.[/mm]
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> In der Volesung haben wir jetzt daraus gefolgert, dass 0
> der einzige EW ist aber ich weiß gar nicht warum.
>
> bedeutet dies nicht eher, dass es keinen EW gibt?
>
Hallo,
so sehe ich das auch.
Wenn für alle [mm] \lambda [/mm] gilt [mm] Kern(f-\lambda [/mm] id)=0
bedeutet das, daß für alle [mm] \lambda [/mm] aus
[mm] f(v)=\lambda [/mm] v folgt, daß v=0 ist.
Also gibt es keinen Eigenwert.
Insbesondere ist dann f injektiv, und somit ist ganz sicher 0 kein Eigenwert.
Dazu, ob im Beweis in der Vorlesung etwas schiefgelaufen ist, sage ich nichts ohne meinen Anwalt, bzw.: ich kann dazu nichts sagen, ohne daß ich den Beweis genau kenne.
>
> der zusammenhang ist folgender:
>
> Man möchte zeigen, dass wenn f nilpotent ist, das
> char.Polynom die form [mm]\pm t^{dim(V)}[/mm] hat
>
> selbst wenn 0 der einzige EW ist, woher weiß ich, dass das
> char. Polynom in lin.Faktoren zerfällt nur mit der
> voraussetzung, dass f nilpotent ist?
Wenn f nilpotent ist, gibt es ein m' mit [mm] f^{m'}=0.
[/mm]
Nun werdet Ihr gezeigt haben, daß dann 0 ein Eigenwert von f sein muß.
Sei m die kleinste natürliche Zahl, für die [mm] f^m=0 [/mm] gilt.
Ich vermute, daß Ihr jetzt gezeigt habt, daß [mm] x^m [/mm] das Minimalpolynom von f ist. (In diesem Zusammenhang dürfte das da oben oder etwas ähnliches vorgekommen sein. Vielleicht im Rahmen eines Widerspruchs? Ich habe den Beweis nicht durchgeführt.)
Wenn das gezeigt ist, folgt, daß das charakteristische Polynom [mm] x^n [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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