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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | Bestimmung der Eigentwerte von CA
C= [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 2 & 1 \\ 2 & 1 }
[/mm]
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 } [/mm] |
Hallo!
Die Berechnung der Eigenwerte mittels des charakteristischen Polynoms liefert mir die Eigenwerte
[mm] \lambda_{0}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=2
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=5
[/mm]
Nun ist es doch auch so, dass bei einer Dreiecksmatrix, die Hauptdiagonalelemente die Eigenwerte sind. Wenn ich nun jedoch einen Eliminationsschritt durchführe um die Matrix in solch eine Form zu bringen und zu folgender Matrix gelange
CA= [mm] \pmat{ 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
wären doch die Eigenwerte als 2, 4 und 0 abzulesen.
Verändert etwa ein Eliminationsschritt die Eigenwerte einer Matrix?
Gruß, Molch
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Hallo!
In der Tat verändert ein Eliminationsschritt u.U. die Eigenwerte der Matrix. Das Abziehen der 2. Zeile von der 3. entspricht der Multiplikation mit einer Elementar-Matrix von links:
[mm] $\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1}*\pmat{2&6&3\\0&4&1\\0&4&1}=\pmat{2&6&3\\0&4&1\\0&0&0}$.
[/mm]
Damit die Eigenwerte invariant bleiben, musst du aber das Inverse der Elementar-Matrix von recht dranmultiplizieren. Dieses entspricht dem Addieren der 3. Spalte auf die 2.:
[mm] $\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1}*\pmat{2&6&3\\0&4&1\\0&4&1}*\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&1&1}= \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1}*\pmat{2&9&3\\0&5&1\\0&5&1}=\pmat{2&9&3\\0&5&1\\0&0&0}$.
[/mm]
Jetzt klappt's auch mit den Eigenwerten...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Molch |
Danke für die Hilfe.
Dieser Umstand war mir noch nicht bekannt!
Gruß, Molch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Mo 06.02.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
soweit ich weiß nennt man die Matrix wo man die Eigentwerte in der Diagonalen ablesen kann auch die Jordansche Normalform . Es ist alles außerhalb der Diagonalen Null, und in der Diagonalen selber stehen nur die Eigenwerte.
Und die Jordanmatrik kann man ausrechnen, wenn man an die Ausgangsmatrix von links das Inverse der Transformationsmatrix, und von rechts die Transformationsmatrix ran multiplizierst.
Wenn du dafür nochmal ein Beispiel willst (für Interessierte) dann mach zwei mal "piep".
Viele Grüße,
//Sara
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