Eigenwertaufgabe < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 So 23.01.2005 | | Autor: | merzer |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003568&read=1&kat=Studium
Sei A eine m x n Matrix und B eine n x m Matrix mit m <= n.
Man zeige:
1) Jeder Eigenwert von AB ist auch Eigenwert von BA.
2) Jeder von Null verschiedene Eigenwert von BA ist auch Eigenwert von AB.
Über Hilfe, zumindest einen Ansatz, wär ich sehr dankbar. Komm nämlich durch Umformen hier auf keinen grünen Zweig. Vielleicht hilft, dass die Eigenwerte von einer Matrix gleich der Eigenwerte der transponierten Matrix sind, vielleicht aber auch nicht. Finde jedenfalls keinen passenden Ansatz oder kann meine Ideen nicht richtig umsetzen.
Danke im Voraus
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mo 24.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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>
> http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003568&read=1&kat=Studium
>
> Sei A eine m x n Matrix und B eine n x m Matrix mit m <=
> n.
> Man zeige:
> 1) Jeder Eigenwert von AB ist auch Eigenwert von BA.
Tipp, zeige: Ist v ein Eigenvektor von AB zum Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] dann ist Bv (solange [mm] $Bv\not=0$) [/mm] ein Eigenvektor von BA zum selben Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Dasselbe Argument gilt natürlich auch für BA und AB.
mfG Moudi
> 2) Jeder von Null verschiedene Eigenwert von BA ist auch
> Eigenwert von AB.
>
> Über Hilfe, zumindest einen Ansatz, wär ich sehr dankbar.
> Komm nämlich durch Umformen hier auf keinen grünen Zweig.
> Vielleicht hilft, dass die Eigenwerte von einer Matrix
> gleich der Eigenwerte der transponierten Matrix sind,
> vielleicht aber auch nicht. Finde jedenfalls keinen
> passenden Ansatz oder kann meine Ideen nicht richtig
> umsetzen.
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> Danke im Voraus
> Markus
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