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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier meine Überlegungen:
[mm] \Psi [/mm] und [mm] \Phi [/mm] sind linear. Bei [mm] \Psi \circ \Phi [/mm] und [mm] \Phi \circ \Psi [/mm] sind je die Definitionsbereiche identisch. [mm] \Psi \circ \Phi [/mm] bildet ab von V [mm] \to [/mm] V und [mm] \Phi \circ \Psi [/mm] bildet ab von W [mm] \to [/mm] W. Daraus folgt, dass [mm] \Phi \circ \Psi [/mm] sowie [mm] \Psi \circ \Phi [/mm] Endomorphismen sind.
Zu zeigen ist, dass Für c [mm] \in \IR \backslash \{0\} [/mm] gilt:
c ist Eigenwert von [mm] \Psi \circ \Phi \gdw [/mm] c Eigenwert von [mm] \Phi \circ \Psi [/mm] ist.
Also:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] c ist Eigenwert von [mm] \Psi \circ \Phi [/mm] impliziert c Eigenwert von [mm] \Phi \circ \Psi
[/mm]
Sei nun c Eigenwert von [mm] \Psi \circ \Phi [/mm]
[mm] \gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] V mit x [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] (\Psi \circ \Phi)(x) [/mm] = cx
[mm] \gdw \Psi(\Phi(x)) [/mm] = cx
Und nun hört es bei mir auf. Ich finde einfach nichts, was mir weiterhelfen würde.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [mm]\gdw \Psi(\Phi(x))[/mm] = cx
>
> Und nun hört es bei mir auf. Ich finde einfach nichts, was
> mir weiterhelfen würde.
Hallo,
nun wende auf beiden Seiten [mm] \Phi [/mm] an.
Gruß v. Angela
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Danke.
Das hast du doch gemeint:
[mm] \Phi(\Phi(\Psi(x))) [/mm] = [mm] \Phi(cx)
[/mm]
oder?
Nun:
Da [mm] \Phi [/mm] linear kann ich [mm] \Phi(cx) [/mm] auch schreiben als: c [mm] \Phi(x)
[/mm]
Aber was bringt das?
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> Danke.
>
> Das hast du doch gemeint:
>
> [mm]\Phi(\Phi(\Psi(x)))[/mm] = [mm]\Phi(cx)[/mm]
Naja, nicht ganz.
Du hattest da ursprünglich stehen
>>> $ [mm] \gdw \Psi(\Phi(x)) [/mm] $ = cx,
und ich meinte, daß Du darauf [mm] \Phi [/mm] anwenden sollst.
> Nun:
> Da [mm]\Phi[/mm] linear kann ich [mm]\Phi(cx)[/mm] auch schreiben als: c
> [mm]\Phi(x)[/mm]
>
> Aber was bringt das?
Mach's mal so, wie ich es gesagt habe und schau dann nach, ob [mm] \Phi\circ\Psi [/mm] möglicherweise auf einen Vektor angewendet wird, der rechts auch steht.
Gruß v. Angela
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Oh entschuldige. Ich hatte mich vertippt. Ich meinte natürlich:
[mm] (\Phi \circ \Psi \circ \Phi)(x) [/mm] = [mm] \Phi(cx)
[/mm]
So - und nun soll ich schauen, ob: "ob [mm] \Phi \circ \Psi [/mm] möglicherweise auf einen Vektor angewendet wird, der rechts auch steht. "
Was meinst du damit?
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> Oh entschuldige. Ich hatte mich vertippt. Ich meinte
> natürlich:
>
> [mm](\Phi \circ \Psi \circ \Phi)(x)[/mm] = [mm]\Phi(cx)[/mm]
>
> So - und nun soll ich schauen, ob: "ob [mm]\Phi \circ \Psi[/mm]
> möglicherweise auf einen Vektor angewendet wird, der rechts
> auch steht. "
>
> Was meinst du damit?
Die rechte Seite hattest Du vorhin unter Ausnutzung der Linearität ja schon sehr passabel.
Nun links:
[mm] (\Phi \circ \Psi \circ \Phi)(x) [/mm] = [mm] (\Phi \circ \Psi) [/mm] (...)
Gruß v. Angela
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[mm] (\Phi \circ \Psi \circ \Phi)(x) [/mm] = [mm] (\Phi \circ \Psi)(\Phi(x)) [/mm] = ??
Oh mann ich hab ja wieder total den Durchblick...
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> [mm](\Phi \circ \Psi \circ \Phi)(x)[/mm] = [mm](\Phi \circ \Psi)(\Phi(x))[/mm]
> = ??
>
> Oh mann ich hab ja wieder total den Durchblick...
Nun schreibst Du auf die andere Seite [mm] \Phi(cx)=c\Phi(x).
[/mm]
Und darüber kannst Du dann mal bis morgen früh meditieren. (Es gibt ja eigentlich nur eine Zutat, die als Eigenwert infrge kommst, und das andere wird dann... Na, ich will Dir den Spaß nicht komplett nehmen.)
Gruß v. Angela
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