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| Aufgabe | Bestimmen Sie zu folgenden Matrizen A jeweils alle Eigenwerte sowie je eine Matrix V , sodass
V ^-1 AV Diagonalgestalt besitzt:
a) A = $ [mm] \begin{pmatrix} 2i & i \\ \wurzel{3} & 0 & \end{pmatrix} [/mm] $=
b) A =$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ \ i & 3 & 0\\ \ i+1 & 3 & 2 \end{pmatrix} [/mm] $= |
Dort habe ich dann erst [mm] det(A-E*\lambda)=0 [/mm] gerechnet und zusammen gefasst. So komme ich auf
[mm] 0=\lambda^2-2i\lambda-i\wurzel{3}
[/mm]
Dort habe ich dann eine quadratische Ergänzung gemacht und erhalte:
[mm] i\wurzel{3}=(\lambda-i)^2-i^2
[/mm]
[mm] i\wurzel{3}-1=(\lambda-i)^2
[/mm]
Nun Wandel ich das ganze in Polarkoordinaten um
z= [mm] -1+i\wurzel{3}
[/mm]
r=|z|= [mm] \wurzel{Re^2 + Im^2}
[/mm]
[mm] r=|z|=\wurzel{(-1)^2+\wurzel{3}^2}
[/mm]
r=2
Da x <0 und y>0 ergibt sich für den Winkel:
[mm] arctan(\wurzel{3}/-1) [/mm] + [mm] \pi [/mm] = 2/3 [mm] \pi
[/mm]
mit r*e^(i*winkel) ergibt sich
[mm] (\lambda-i)^2 [/mm] = [mm] 2*e^{i2/3*\pi}
[/mm]
durch wurzelziehen folgt also
[mm] \lambda [/mm] 1,2 = +,- [mm] \wurzel{2}*e^{i2/3*\pi} [/mm] + i
Jetzt weiß ich nicht genau, wie es weitergeht. Da fehlt noch ein Schritt zu den Eigenwerten. Bei einer anderen Aufgabe haben wir nochmal irgendwas mit dem arctan gemacht, aber das verstehe ich leider nicht.
Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet!
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Do 23.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine EW sind richtig und du hast sie fertig.
Gruß leduart
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Als in einer anderen Aufgabe hatten wir nach der Formel mit r*e^(i*winkel) folgendes raus
( [mm] \lambda [/mm] - [mm] 2*\wurzel(2))^2 [/mm] = [mm] 4*e^{i\pi/3} [/mm]
= [mm] \lambda -2*\wurzel(2) [/mm] = +,- [mm] 2*e^{i*\pi/6}
[/mm]
soweit so gut. Bis dahin bin ich bei meiner Aufgabe ja auch gekommen.
Dann steht da weiter: [mm] d=\pi/6 [/mm] = [mm] arctan(1/\wurzel(3))-\wurzel(1^2+\wurzel(3)^2) [/mm] = 2
[mm] \lambda1,2=2*\wurzel(2)+,- (\wurzel(3)+i) [/mm]
daraus ergeben sich dann die Eigenwerte.
Den Schritt kann ich jetzt überhaupt nicht nachvollziehen und bin sehr verwirrt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Do 23.01.2014 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
wenn die wollen, dass du die Wigenwerte in der Form a+ib schreibst mußt du hal e^}i\phi in cos\phi+isin\phi verwandeln die sos und sin Werte einsetzen und so deine \lambda schreiben. ich sehe eben, dass deine Schreibweise eine Mischung aus Koordinaten schreibweise (a+ib und polarer Schreibweise r*e^{o\phi} ist, Das ist auf jeden Fall unschön.
in deinem Bsp wurde e^{pi|6} durch cos(\pi/6)+isin(\pi/6) ersetzt. der arctan war wie man auf die \pi/6 gekommen war, das hattest du ja schon!
Gruss leduart
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Danke! Ich versuchs dann nochmal :)
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