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Eigenwert mit Unbekannten "s": Berechnen von Eigenwerten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mi 11.02.2009
Autor: stekoe2000

Aufgabe
Matrix [mm] A_s [/mm] = [mm] \pmat{1 & s \\ 1 & s} [/mm]

1) Berechnen Sie das charakteristische Polynom!
2) Wie muss s belegt werden, damit es nur einen Eigenwert gibt?
3) Wieso ist es wenn s in 2) so belegt keine diagonalisierbare Matrix?

zu 1)

[mm] charpol_{A}(x) [/mm] = [mm] det(\pmat{x-1 & -s \\ -1 & x-s}) [/mm]

=> [mm] $(x-1)\cdot [/mm] (x-s) - [mm] (-s)\cdot [/mm] (-1)$
=> [mm] $(x^2 [/mm] - xs - x + s) - s$
=> $ [mm] x\cdot [/mm] (x - s - 1) $

Die Eigenwerte ergeben sich aus dem [mm] charpol_{A}(x) [/mm] = 0 dazu muss dann doch $ x - s - 1 = 0 $ sein:

$x = s + 1 => s = -1$

Wenn also s = -1 ist, existiert nur der EW(A) = 0.
Damit wäre 2) erledigt, aber wie mache ich nun 3 .. ?

Wenn $s = -1$ und EW(0), dann:

[mm] ER_{A}(0) [/mm] = [mm] Ker(\pmat{0 - 1 & -(-1) \\ -1 & 0 - (-1)}) [/mm]
=> $ [mm] Ker(\pmat{-1 & 1 \\ -1 & 1}) [/mm] $
=> $ [mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0}) [/mm] $
=> $ [mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -1}) [/mm] $ => [mm] dim(Ker(A_s)) [/mm] = 1 [mm] \neq [/mm] n = 2 also nicht diagonalisierbar.

Ist das richtig?

        
Bezug
Eigenwert mit Unbekannten "s": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mi 11.02.2009
Autor: angela.h.b.


> Matrix [mm]A_s[/mm] = [mm]\pmat{1 & s \\ 1 & s}[/mm]
>  
> 1) Berechnen Sie das charakteristische Polynom!
>  2) Wie muss s belegt werden, damit es nur einen Eigenwert
> gibt?
>  3) Wieso ist es wenn s in 2) so belegt keine
> diagonalisierbare Matrix?
>  zu 1)
>  
> [mm]charpol_{A}(x)[/mm] = [mm]det(\pmat{x-1 & -s \\ -1 & x-s})[/mm]
>  
> => [mm](x-1)\cdot (x-s) - (-s)\cdot (-1)[/mm]
>  => [mm](x^2 - xs - x + s) - s[/mm]

>  
> => [mm]x\cdot (x - s - 1)[/mm]
>  
> Die Eigenwerte ergeben sich aus dem [mm]charpol_{A}(x)[/mm] = 0 dazu
> muss dann doch [mm]x - s - 1 = 0[/mm] sein:

Hallo,

den zweiten Eigenwert x=0 solltest Du auch erwähnen.

>  
> [mm]x = s + 1 => s = -1[/mm]
>  
> Wenn also s = -1 ist, existiert nur der EW(A) = 0.

Ja.

>  Damit wäre 2) erledigt, aber wie mache ich nun 3 .. ?
>
> Wenn [mm]s = -1[/mm] und EW(0), dann:
>  
> [mm]ER_{A}(0)[/mm] = [mm]Ker(\pmat{0 - 1 & -(-1) \\ -1 & 0 - (-1)})[/mm]
>  =>

> [mm]Ker(\pmat{-1 & 1 \\ -1 & 1})[/mm]
>  => [mm]Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0})[/mm]

>  
> => [mm]Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -1})[/mm]

Diese Matrix ist ja Unfug, vielleicht ein Copyfehler.

=> [mm]dim(Ker(A_s))[/mm] = 1 [mm]\neq[/mm]

> n = 2 also nicht diagonalisierbar.
>  
> Ist das richtig?

Ja, das wären die richtigen Folgerungen aus der vorletzten Matrix. Wenn Du Lust hast, könntest Du ja noch eine basis des Eigenraumes angeben, gefragt ist sie aber nicht.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Eigenwert mit Unbekannten "s": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Mi 11.02.2009
Autor: stekoe2000

Jau, copyfehler:

[mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0}) [/mm]

=> Basis [mm] Ker(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0}) [/mm]
=> [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -1} [/mm] => [mm] \left{\vektor{-1 \\ -1}\right} [/mm]


Bezug
        
Bezug
Eigenwert mit Unbekannten "s": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Do 12.02.2009
Autor: stekoe2000

Aufgabe
Weiterführende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle anderen s [mm] \neq [/mm] -1 mehrere Eigenwerte existieren und die Matrix diagonalisierbar ist.

[mm] $chpol_{A}(x) [/mm] = x(x-s-1)$

EW = 0, s+1 => wenn s = -1, dann nur EW = 0

[mm] ER_{A}(0) [/mm] = [mm] Ker\pmat{0-1 & -s \\ -1 & -s} [/mm]
      = [mm] Ker\pmat{-1 & -s \\ -1 & -s} [/mm]
      = [mm] Ker\pmat{1 & s \\ 0 & 0} [/mm]

EV = [mm] \vektor{s \\ -1} [/mm]

[mm] dim(ER_{A}(0)) [/mm] = 1

[mm] ER_{A}(s+1) [/mm] = [mm] Ker\pmat{s+1-1 & -s \\ -1 & s+1-s} [/mm]
        = [mm] Ker\pmat{s & -s \\ 1 & -1} [/mm]
        = [mm] Ker\pmat{s & -s \\ s & -s} [/mm]
        = [mm] Ker\pmat{s & -s \\ 0 & 0} [/mm]

EV = [mm] \vektor{-s \\ -1} [/mm]

[mm] dim(ER_{A}(s+1)) [/mm] = 1

Es existieren 2 Eigenvektoren, also ist die Matrix diagonalisierbar!

Diagonalmatrix:
D = [mm] \pmat{0 & 0 \\ 0 & s+1 } [/mm]

Invertierbare Matrix P:
P = [mm] \pmat{s & -s \\ -1 & -1 } [/mm]
            

Ich hoffe, dass das alles so richtig ist?

Bezug
                
Bezug
Eigenwert mit Unbekannten "s": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Do 12.02.2009
Autor: fred97


> Weiterführende Aufgabe:
>  
> Zeigen Sie, dass für alle anderen s [mm]\neq[/mm] -1 mehrere
> Eigenwerte existieren und die Matrix diagonalisierbar ist.
>  [mm]chpol_{A}(x) = x(x-s-1)[/mm]
>  
> EW = 0, s+1 => wenn s = -1, dann nur EW = 0
>  
> [mm]ER_{A}(0)[/mm] = [mm]Ker\pmat{0-1 & -s \\ -1 & -s}[/mm]
>        =
> [mm]Ker\pmat{-1 & -s \\ -1 & -s}[/mm]
>        = [mm]Ker\pmat{1 & s \\ 0 & 0}[/mm]
>  
> EV = [mm]\vektor{s \\ -1}[/mm]


Das ist O.K.


>  
> [mm]dim(ER_{A}(0))[/mm] = 1
>  
> [mm]ER_{A}(s+1)[/mm] = [mm]Ker\pmat{s+1-1 & -s \\ -1 & s+1-s}[/mm]
>          =
> [mm]Ker\pmat{s & -s \\ 1 & -1}[/mm]
>          = [mm]Ker\pmat{s & -s \\ s & -s}[/mm]
>  
>         = [mm]Ker\pmat{s & -s \\ 0 & 0}[/mm]
>  
> EV = [mm]\vektor{-s \\ -1}[/mm]


Das ist nicht O.K. [mm] \vektor{-s \\ -1} [/mm] ist kein Eigenvektor zum Eigenwert 1+s !!

Ein Eigenvektor wäre [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm]



FRED


>  
> [mm]dim(ER_{A}(s+1))[/mm] = 1
>  
> Es existieren 2 Eigenvektoren, also ist die Matrix
> diagonalisierbar!
>  
> Diagonalmatrix:
>  D = [mm]\pmat{0 & 0 \\ 0 & s+1 }[/mm]
>  
> Invertierbare Matrix P:
>  P = [mm]\pmat{s & -s \\ -1 & -1 }[/mm]
>              
>
> Ich hoffe, dass das alles so richtig ist?


Bezug
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