Eigenwert, einfache Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe 1 | Seien h: V [mm] \to [/mm] W, f: V [mm] \to [/mm] V, g: W [mm] \to [/mm] W linear und h insbesondere surjektiv.
Ferner sei g(h(v))=h(f(v)) für alle v.
Zeige: Ist a Eigenwert von g, so ist a auch Eigenwert von f. |
| Aufgabe 2 | Sei V ein [mm] \IC-Vektorraum, [/mm] V endlichdimensional.
Zeige: Jeder einfache Unterraum von V ist eindimensional.
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Hi!
Mal wieder ein paar Probleme.
Zur 1)
Also ich weiß ja, dass es ein w [mm] \in [/mm] W gibt mit [mm] g(w)=\lambda [/mm] w. Und da h surjektiv ist, gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit h(v)=w.
Dann ist [mm] g(h(v))=g(w)=\lambda [/mm] w=h(f(v)). Gut, wenn ich [mm] f(v)=\lambda [/mm] v verwende, geht die Gleichung auch super auf, aber das hilft mir ja leider nicht.
Also solange das f(v) innerhalb von h steht, kann ich da denke ich nicht viel mit machen.
Aber ich kann ja nicht z.B. voraussetzen, dass [mm] h^{-1} [/mm] existiert.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Zur 2)
Ich weiß nicht, wie geläufig der Begriff der "Einfachheit" von Vektorräumen ist, aber eine Abbildung [mm] \phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V ist W-einfach, wenn [mm] \phi(W) \subseteq [/mm] W für ein Unterraum W von V gilt, aber für alle Unterräume von W gilt dies nicht mehr. Also wenn [mm] \{0\} \not= [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] W gilt nicht [mm] \phi(U) \subseteq [/mm] U.
Zumindest wollte ich davon ausgehen, dass ein einfacher Unterraum von V die Dimension 2 oder höher hat und das zum Widerspruch führen. Sollte ich diesen Gedankengang weiterverfolgen, oder sollte ich da anders herangehen? Hat da jemand Tipps für mich?
Danke!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also solange das f(v) innerhalb von h steht, kann ich da
> denke ich nicht viel mit machen.
> Aber ich kann ja nicht z.B. voraussetzen, dass [mm]h^{-1}[/mm]
> existiert.
> Kann mir da bitte jemand helfen?
Ich habe auch keine große Idee, aber [m]f(v)-\lambda*v\in Ker(h)[/m]. Hilft das?
> weiterverfolgen, oder sollte ich da anders herangehen? Hat
> da jemand Tipps für mich?
[m]\IC[/m] ist alg. abgeschlossen!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:17 So 02.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erst mal (mal wieder).
Die 2. Frage ist nun klar, habe ich nicht lang genug drüber nachgedacht und bin falsch rangegangen.
Aber die 1. Frage bleibt noch offen. Ich weiß weiterhin: Wenn $f(v) [mm] \not= \lambda [/mm] v$ ist, so müssen v und f(v) linear unabhängig sein. Kann ich das irgendwie zu einem Widerspruch zu den Ausgangsbedingungen führen?
Teufel
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> Seien h: V [mm]\to[/mm] W, f: V [mm]\to[/mm] V, g: W [mm]\to[/mm] W linear und h
> insbesondere surjektiv.
> Ferner sei g(h(v))=h(f(v)) für alle v.
> Zeige: Ist a Eigenwert von g, so ist a auch Eigenwert von f.
Hallo,
man ist ja ziemlich schnell und unoriginell bei der Erkenntnis, daß [mm] f(v)-\lambda [/mm] v im Kern von h liegt.
Sind die Vektorräume eigentlich als endlichdimensional vorausgesetzt?
Wenn ja, dann kannst Du Dimensionsbetrachtungen durchführen:
dim V [mm] \ge [/mm] dim W=dim Bild h,
dim Bild [mm] g\circ [/mm] h [mm] \le [/mm] dim Bild h,
und mit dem Kern-Bild-Satz bekommst Du schließlich, daß dim V=dim W.
Damit ist h dann auch injektiv, [mm] f(v)-\lambda [/mm] v somit =0.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 So 02.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Hilfe.
Es steht nichts davon da, dass die Vektorräume endlichdimensional sein sollen, aber ich glaube, dass wir das stillschweigend voraussetzen dürfen.
Ich glaube ich habs jetzt auch, danke euch beiden.
Teufel
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