Eigenwert / Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 12.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
Hi!
Ich arbeite an folgendem Beispiel: Man bestimmte die Eigenwerte und die Eigenvektor der Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 &0 &1 & 0\\0&0&0&1\\1&0&0&0 }
[/mm]
Zuerst also habe ich versucht [mm] det(A-\lambdaI)=0 [/mm] zu lösen.
Eine Frage dazu: Kann ich die Matrix vorher umformen, sie auf die Form:
= - [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\0 &1 &0 & 0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 }
[/mm]
und dann [mm] -\lambda [/mm] von der Diagonalen abziehen, oder muss ich das der unverformten Matrix machen?
Weil wenn ich das mit der unverformten mache, dann habe ich an den Diagonalen lediglich [mm] -\lambda. [/mm] Ansonsten steht dort [mm] 1-\lambda [/mm] was zu [mm] (1-\lambda)^4 [/mm] führt, und [mm] \lambda^4 [/mm] - [mm] 4\lambda^3 +6\lambda^2 -4\lambda [/mm] + 1 = 0 ergibt. Eigenwert wäre somit 1.
Bevor ich zu der Berechnung des Eigenvektors was frage, würde ich gerne wissen, ob meine Vorgehensweise so überhaupt stimmt....vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Nadine!
> Ich arbeite an folgendem Beispiel: Man bestimmte die
> Eigenwerte und die Eigenvektor der Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 &0 &1 & 0\\0&0&0&1\\1&0&0&0 }[/mm]
>
> Zuerst also habe ich versucht [mm]det(A-\lambdaI)=0[/mm] zu lösen.
>
> Eine Frage dazu: Kann ich die Matrix vorher umformen, sie
> auf die Form:
>
> = - [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\0 &1 &0 & 0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 }[/mm]
>
> und dann [mm]-\lambda[/mm] von der Diagonalen abziehen, oder muss
> ich das der unverformten Matrix machen?
Nein, das darfst du nicht.
> Weil wenn ich das mit der unverformten mache, dann habe ich
> an den Diagonalen lediglich [mm]-\lambda.[/mm] Ansonsten steht dort
> [mm]1-\lambda[/mm] was zu [mm](1-\lambda)^4[/mm] führt, und [mm]\lambda^4[/mm] -
> [mm]4\lambda^3 +6\lambda^2 -4\lambda[/mm] + 1 = 0 ergibt. Eigenwert
> wäre somit 1.
Der Eigenwert $1$ stimmt (zufälligerweise) dennoch.
Rechne es jetzt aus ohne vorherige (nicht zulässige) Umformung. Entwickele die Determinante am besten nach der ersten Spalte oder so...
Auf welche(n) Eigenwert(e) kommst du?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 12.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Hallo Julius!
ich wollte gerade schreiben, dass ich draufgekommen bin das meine Idee Unsinn war.
Ich komme auf die Gleichung [mm] a^4 [/mm] - 1 = 0 und [mm] a_1 [/mm] = -1, [mm] a_2 [/mm] = 1
Ich versuche nun den Eigenvektor auszurechnen, bei der Vorgehensweise bin ich mir noch etwas unsicher.
Bei [mm] \lambda [/mm] = 1 erhalte ich nach Abziehen an der Diagonalen:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 1 &0 &0 & -1 }
[/mm]
Gaußsches Eliminationsverfahren bringt mich zu:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 &0 &0 & 0 }
[/mm]
Beim nächsten Schritt bin ich mir schon unsicher ob das korrekt ist, ich suche ein lösung für A = 0, durch Raten komme ich auf v = (1,1,1,1)
Wenn das allerdings stimmt, dann wäre dies einer meiner Eigenvektoren und ich müßte nun dasselbe für den zweiten Eigenwert (-1) machen...
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> Ich komme auf die Gleichung [mm]a^4[/mm] - 1 = 0 und [mm]a_1[/mm] = -1, [mm]a_2[/mm] =
> 1
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> Ich versuche nun den Eigenvektor auszurechnen, bei der
> Vorgehensweise bin ich mir noch etwas unsicher.
>
> Bei [mm]\lambda[/mm] = 1 erhalte ich nach Abziehen an der
> Diagonalen:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 1 &0 &0 & -1 }[/mm]
>
> Gaußsches Eliminationsverfahren bringt mich zu:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 &0 &0 & 0 }[/mm]
>
> ....durch Raten
> komme ich auf v = (1,1,1,1)
Hallo,
ob Dein Eigenvektor wiklich einer ist, kannst Du selbst nachprüfen: wenn v = (1,1,1,1) ein EV zum EW 1 ist, muß ja Deien Ausgangsmatrix mit v = (1,1,1,1) multipliziert v = (1,1,1,1) ergeben.
Das tut sie. Prüf's nach.
jetzt für [mm] \lambda=-1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Wenn das allerdings stimmt, dann wäre dies einer meiner
> Eigenvektoren und ich müßte nun dasselbe für den zweiten
> Eigenwert (-1) machen...
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Di 13.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Danke Angela!
Ich habe meine Unterlagen gerade nicht hier, ich denke ich hatte v2(1,-1,1,1) als zweiten Eigenvektor!
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