Eigenwert Drehung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 07.05.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Hallo,
ich überlege gerade, warum eine Drehung im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] keine reellen Eigenwerte hat, wenn der Drehwinkel [mm] $\neq [/mm] 0 , [mm] \pi$ [/mm] ist. Ich danke für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Maxi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
> ich überlege gerade, warum eine Drehung im [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
> keine reellen Eigenwerte hat, wenn der Drehwinkel [mm]\neq 0 , \pi[/mm]
> ist. Ich danke für eure Hilfe.
> Liebe Grüße
> Maxi
Ad hoc hätte ich dir eine geometrische Erklärung anzubieten.
Eigenvektoren (zu Eigenwerten ungleich Null) im [mm] \IR^n [/mm] , [mm]n \in \left \{ 2,3 \right \}[/mm] haben ja eine wichtige geometrische Deutung: ihre Richtung bleibt unter der betreffenden linearen Abbildung erhalten (bis auf den Richtungssinn, der ändert sich bei negativen Eigenwerten).
Bei einer Drehung bleiben Abstände erhalten. Wenn überhaupt, dann könnten die Eigenwerte einer Drehung 1 bzw. -1 sein. Für Drehwinkel ungleich [mm] \left\{0,\pi\right\} [/mm] wird das aber nichts, da ja jeder Vektor um den gleichen Winkel gedreht wird. Für den trivialen Fall [mm] \alpha=0 [/mm] bleiben alle Vektoren gleich (->EW=1), für [mm] \alpha=\pi [/mm] ändern alle Vektoren ihren Richtungssinn (EW=-1).
Einen Eigenwert von 0 kann es bei einer Drehung nicht geben, denn sonst müsste irgendeine Richtung auf das Maß Null 'geschrumpft' werden.
Das rechnet man mit Hilfe der Drehmatrix im [mm] \IR^2 [/mm] auch leicht nach, da fehlt mir aber jetzt die Zeit zum eintippen (daher setze ich auf 'teilweise beantwortet').
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mo 07.05.2018 | | Autor: | fred97 |
Um Diophants Antwort zu ergänzen: Eine Drehmatrix A ist eine orthogonale Matrix, also $A^TA=E.$
Ist dann [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] |\lambda|=1, [/mm] also [mm] \lambda \in \{ -1, 1\}.
[/mm]
Hilft das ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 09.05.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Vielen Dank für eure Antworten, ich werde darüber nachdenken und mir das etwas formaler überlegen und es dann kurz vorstellen.
|
|
|
|
