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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:56 So 29.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Für jede Matrix A [mm] \in \IR [/mm] ^{n x n}, die 3 als Eigenwert hat und 5 als Eigenwert hat ist 3+5 ein Eigenwert von 2A.
b) Für jeden [mm] \IR-Vektorraum-Endomorphismus [/mm] F: V --> V, der 3 als einzigen Eigenwert hat, ist [mm] 5*id_{V}- [/mm] F injektiv |
erstmal nur zu a.)
Wir haben ja A= [mm] \pmat{ a_{11} & ... \\ ... & a_{nn} }
[/mm]
Dann ist 2A= [mm] \pmat{ a_{11}+a_{11} & ... \\ ... & a_{nn} + a_{nn} }
[/mm]
Hilft mir das schon? Hab da überhaupt keine Idee. An sich denk ich aber, dass es sich widerlegen lassen müsste.
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> Beweisen oder widerlegen Sie:
> a) Für jede Matrix A [mm]\in \IR[/mm] ^{n x n}, die 3 als
> Eigenwert hat und 5 als Eigenwert hat ist 3+5 ein Eigenwert
> von 2A.
> b) Für jeden [mm]\IR-Vektorraum-Endomorphismus[/mm] F: V --> V,
> der 3 als einzigen Eigenwert hat, ist [mm]5*id_{V}-[/mm] F
> injektiv
> erstmal nur zu a.)
> Wir haben ja A= [mm]\pmat{ a_{11} & ... \\
... & a_{nn} }[/mm]
>
> Dann ist 2A= [mm]\pmat{ a_{11}+a_{11} & ... \\
... & a_{nn} + a_{nn} }[/mm]
>
> Hilft mir das schon? Hab da überhaupt keine Idee. An sich
> denk ich aber, dass es sich widerlegen lassen müsste.
Hallo,
das denke ich auch.
Nimm Dir doch mal eine Matrix A her, die 3 und 5 als Eigenwerte hat und guck nach, was die Eigenwerte von 2A sind.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 29.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
> Hallo,
>
> das denke ich auch.
> Nimm Dir doch mal eine Matrix A her, die 3 und 5 als
> Eigenwerte hat und guck nach, was die Eigenwerte von 2A
> sind.
>
> LG Angela
Also auf a hätte ich auch wirklich sofort kommen können...
Hab nun mir die Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 5 } [/mm] Da das ja eine Diagonalmatrix ist, kann man ja ganz einfach die Eigenwerte von der Diagonalen ablesen. Sind hier ja wie gefordert 3 und 5.
Für 2A folgt dann: 2A = [mm] \pmat{ 6 & 0 \\ 0 & 10 } [/mm] Daraus folgt, dass 2A nicht 3+5 als Eigenwert hat also ist die Aussage widerlegt.
bei b hab ich nun aber noch keine wirkliche Idee außer, dass ich zeiegen muss, dass die 0 auf die 0 abgebildet wird. Also wenn F injektiv ist, dann gilt: F(v)= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v=0. Ist das schon mal ne richtige Überlegung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
konstruier dir eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix, die nur die EW 3 hat, aber nicht die einfachste mit nur 3*id, dann prüfe deine richtige Behauptung nach. oder finde ein Gegenbeispiel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:03 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
> Hallo
> konstruier dir eine [mm]2\times[/mm] 2 Matrix, die nur die EW 3
> hat, aber nicht die einfachste mit nur 3*id, dann prüfe
> deine richtige Behauptung nach. oder finde ein
> Gegenbeispiel.
> Gruss leduart
>
Hat mich nun irgendwie kaum weitergebracht. Hab jetzt mit den 2x2 Matritzen rumporobiert und glaub das ichs eigentlich prüfen müsste.
Aber kann ich nicht wie oben erwähnt über den Kern argumentieren, dass die 0 auf die 0 abgebildet wird und das hier nicht geht mit der Einschränkung von EW3? oder ist die Idee falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
F habe nur den Eigenwert 3. Nimm nun mal an, $ [mm] 5\cdot{}id_{V}- [/mm] F$ sei nicht injekiv.
Was folgt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
Dann folgt doch, dass mehrere verschiedene [mm] id_v [/mm] die selbe Lösung für [mm] 5.id_v-F [/mm] ergeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dann folgt doch, dass mehrere verschiedene [mm]id_v[/mm] die selbe
> Lösung für [mm]5.id_v-F[/mm] ergeben?
Was ist los ??? Das ist doch kompletter Unsinn.
Nimm an , [mm]5.id_v-F[/mm] wäre nicht injektiv, also ist
kern( [mm]5.id_v-F[/mm] ) [mm] \ne \{0\}.
[/mm]
Damit gibt es ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit [mm](5.id_v-F)x=0[/mm]
Wäre es nun Deiner Meinung nach vielleicht, aber auch nur vielleicht, möglich, dass 5 ein Eigenwert von F ist ?
FRED
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