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| Aufgabe | Sei A eine n × n Matrix. Was ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor von A (Definition und geometrische Deutung!)? Warum sind die reellen Zahlen [mm] \lambda [/mm] mit Det(A - [mm] \lambda*I) [/mm] = 0 die Eigenwerte von A und warum lassen sich für diese Zahlen [mm] \lambda [/mm] tatsächlich Eigenvektoren finden.
Sei [mm] \lambda [/mm] ein fixer Eigenwert von A. Gesucht ist
(mittels Ax = [mm] \lambda [/mm] x), jeweils ein Eigenwert von [mm] A^3 [/mm] und A^-1. |
Kann mir ein(e) Wissende(r) bitte weiterhelfen?Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei A eine n × n Matrix. Was ist ein Eigenwert und ein
> Eigenvektor von A (Definition und geometrische Deutung!)?
> Warum sind die reellen Zahlen [mm]\lambda[/mm] mit
> [mm]Det(A−\lambda[/mm] I) = 0 die Eigenwerte von A und warum
> lassen sich für diese Zahlen [mm]\lambda[/mm] tatsächlich
> Eigenvektoren finden.
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> Sei [mm]\lambda[/mm] ein fixer Eigenwert von A. Gesucht ist
> (mittels Ax = [mm]\lambdax),[/mm] jeweils ein Eigenwert von [mm]A^3[/mm] und
> A^−1.
> Kann mir ein(e) Wissende(r) bitte weiterhelfen?Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
[mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A
[mm] \gdw [/mm] es ex. x [mm] \not= [/mm] 0 mit Ax = [mm] \lambda [/mm] x
[mm] \gdw [/mm] A- [mm] \lambda [/mm] I ist nicht invertierbar [mm] \gdw [/mm] det(A- [mm] \lambda [/mm] I ) = 0
Zur 2. Frage:
Aus Ax = [mm] \lambda [/mm] x folgt $A^2x = A( [mm] \lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] Ax = [mm] \lambda^2 [/mm] x$ und genauso
$A^3x = [mm] \lambda^3x.$
[/mm]
Ist noch [mm] \lambda \not= [/mm] 0 so folgt aus Ax = [mm] \lambda [/mm] x:
x = [mm] \lambda A^{-1}x, [/mm] also
[mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] x = [mm] A^{-1}x
[/mm]
FRED
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| Aufgabe | | Wie kann ich das geometrisch deuten und was kann ich als Eigenwert für [mm] A^3 [/mm] und A^-1 angeben? |
Danke für die schnelle Antwort aber ich würde um eine kurze Erklärung bitten da ich mit Definitionen so meine Schwierigkeiten habe :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] A^3 \gdw [/mm] es ex. ein Eigenwert [mm] \alpha [/mm] von A mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \alpha^3
[/mm]
Ist A invertierbar , so gilt:
[mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] A^{-1} \gdw \bruch{1}{\lambda} [/mm] ist ein Eigenwert von A
FRED
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