Eigenwert + Komposition < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Musterlösung einer Aufgabe.
Aufgabe:
Es seien [mm] \Phi [/mm] ein bijektiver Endomorphismus eines n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V und [mm] \Phi^{+} [/mm] die zu [mm] \Phi [/mm] adjungierte Abbildung. [mm] \Phi^{+} \circ \Phi [/mm] und [mm] \Phi \circ \Phi^{+} [/mm] sind selbstadjungiert und haben nur positive Eigenwerte.
Ziegen Sie: [mm] \Phi^{+} \circ \Phi [/mm] und [mm] \Phi \circ \Phi^{+} [/mm] haben identische Eigenwerte.
Musterlösung:
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert zum Eigenvektor v [mm] \not= [/mm] 0 von [mm] \Phi \circ \Phi^{+}.
[/mm]
Dann ist [mm] \Phi^{+}(v) \not=0 [/mm] und es gilt
[mm] \Phi^{+} \circ \Phi(\Phi^{+}(v)) [/mm] = [mm] \Phi^{+}(\Phi \circ \Phi^{+}(v)) [/mm] = [mm] \Phi^{+}(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda \Phi^{+}(v).
[/mm]
Also ist [mm] \lambda [/mm] auf Eigenwert von [mm] \Phi^{+} \circ \Phi.
[/mm]
Beweis für [mm] \Phi^{+} \circ \Phi [/mm] analog.
Okay - der Beweis ist ja eigentlich recht gut zu verstehen und einleuchtend. Doch, die erste Folgerung des Beweises irritiert mich ein wenig.
Es wird ja ein beliebiger Eigenwert, [mm] \lambda, [/mm] von [mm] \Phi \circ \Phi^{+} [/mm] hergenommen. Für den dazugehörigen Eigenvektor v gilt dann laut Musterlösung [mm] \Phi^{+}(v) \not=0. [/mm] Ich frage mich wieso das gilt. Klar, wäre [mm] \Phi^{+}(v) [/mm] = 0, so könnte [mm] \Phi^{+}(v) [/mm] kein Eigenvektor sein, da es keine Eigenvektoren gibt, die Null sind. Hat es etwas damit zu tun, dass [mm] \Phi^{+} \circ \Phi [/mm] und [mm] \Phi \circ \Phi^{+} [/mm] nur positive Eigenwerte haben?
Danke euch.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu der Musterlösung einer Aufgabe.
>
> Aufgabe:
>
> Es seien [mm]\Phi[/mm] ein bijektiver Endomorphismus eines
> n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V und [mm]\Phi^{+}[/mm] die
> zu [mm]\Phi[/mm] adjungierte Abbildung. [mm]\Phi^{+} \circ \Phi[/mm] und [mm]\Phi \circ \Phi^{+}[/mm]
> sind selbstadjungiert und haben nur positive Eigenwerte.
>
> Ziegen Sie: [mm]\Phi^{+} \circ \Phi[/mm] und [mm]\Phi \circ \Phi^{+}[/mm]
> haben identische Eigenwerte.
>
> Musterlösung:
>
> Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert zum Eigenvektor v [mm]\not=[/mm] 0 von
> [mm]\Phi \circ \Phi^{+}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]\Phi^{+}(v) \not=0[/mm] und es gilt
>
> [mm]\Phi^{+} \circ \Phi(\Phi^{+}(v))[/mm] = [mm]\Phi^{+}(\Phi \circ \Phi^{+}(v))[/mm]
> = [mm]\Phi^{+}(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda \Phi^{+}(v).[/mm]
>
> Also ist [mm]\lambda[/mm] auf Eigenwert von [mm]\Phi^{+} \circ \Phi.[/mm]
>
> Beweis für [mm]\Phi^{+} \circ \Phi[/mm] analog.
>
> Okay - der Beweis ist ja eigentlich recht gut zu verstehen
> und einleuchtend. Doch, die erste Folgerung des Beweises
> irritiert mich ein wenig.
>
> Es wird ja ein beliebiger Eigenwert, [mm]\lambda,[/mm] von [mm]\Phi \circ \Phi^{+}[/mm]
> hergenommen. Für den dazugehörigen Eigenvektor v gilt dann
> laut Musterlösung [mm]\Phi^{+}(v) \not=0.[/mm] Ich frage mich wieso
> das gilt. Klar, wäre [mm]\Phi^{+}(v)[/mm] = 0, so könnte [mm]\Phi^{+}(v)[/mm]
> kein Eigenvektor sein, da es keine Eigenvektoren gibt, die
> Null sind. Hat es etwas damit zu tun, dass [mm]\Phi^{+} \circ \Phi[/mm]
> und [mm]\Phi \circ \Phi^{+}[/mm] nur positive Eigenwerte haben?
>
So ist es !
Es ist doch $ [mm] (\Phi \circ \Phi^{+})(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v $
Wäre [mm] $\Phi^{+}(v) [/mm] = 0$, so wäre $ [mm] \lambda [/mm] v = 0$, also [mm] \lambda [/mm] = 0 oder v= 0, was aber beides nicht der Fall ist.
FRED
> Danke euch.
|
|
|
| |
|
Danke.
Da hatte ich wohl Tomaten auf den Augen. 
|
|
|
|
