Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Esra |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo Leute,
ich habe hier ein problem mit einer teilaufgabe undzwar lautet sie :
a) Sind f,g:V [mm] \to [/mm] V lineare Abbildungen mit fg = gf, so ist P( f,a ) ein g-stabiler Unterraum für jeden Eigenwert a von f.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, die anderen Teilaufgaben von der aufgabe habe ich einigermaßen schon hin gekriegt aber bei dierser...:-((
danke im Vorraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Esra!
Ist $P(f;a)$ der Eigenraum von $f$ zu Eigenwert $a$?
Dann scheint mir die Aufgabe einfach.
Ist $x [mm] \in [/mm] P(f;a)$, so gilt: $f(x)=ax$.
Weiterhin gilt:
$f(g(x)) = g(f(x)) = g(ax) = ag(x)$,
also auch: $g(x) [mm] \in [/mm] P(f;a)$.
Oder wie war die Aufgabe zu verstehen?
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
Der Hauptraum ist gemeint, nicht der Eigenraum.
- Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Do 28.04.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Esra
Julius hat gezeigt, wenn die linearen Selbstabbildungen f, g kommutieren, dann ist jeder Eigenraum von f ein invarianter Unterraum von g.
Das kann man leicht verallgemeinern zum Hauptraum von f. Sei a Eigenwert von f und k genug gross (z.B. k=dim V), dann ist der Hauptraum der Kern der Abbildung [mm] $f^\ast=(f-a\cdot Id)^k$, [/mm] wobei Id die Identitätsabbildung ist. Nun ist der Kern nichts anderes als der Eigenraum zum Eigenwert 0.
Also betrachtet man jetzt statt f und g die Abbildungen [mm] $f^\ast$ [/mm] und g. Es ist klar, wenn f und g kommutieren, dann auch [mm] $f-a\cdot [/mm] Id$ und g, dann auch [mm] $(f-a\cdot Id)^k$ [/mm] und g.
Also, wenn f ung g kommutieren, dann auch [mm] $f^\ast$ [/mm] und g.
Jetzt schliesst man (aus dem von Julius gezeigten), dass der Eigenraum von [mm] $f^\ast$ [/mm] zum Eigenwert 0 ein g-invarianter Unterraum ist, aber das ist gerade der Hauptraum zum Eigenwert a.
mfG Moudi
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