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Hallo!!
Ich bin gerade beim Lernen und mir ist alles klar,nur bei einer kleinen Sache weiß ich nicht womit man das begründen soll!!
Es geht um Eigenwerte bzw. Eigenvektoren!!
geg: f: V --> V K-linear
x [mm] \in [/mm] V, [mm] x\ne [/mm] 0 heißt Eigenvektor von V zum Eigenwert a [mm] \in [/mm] K <=> f(x)=a*x
So die Abbildung kann man auch als Abbildungsmatrix darstellen,was eine sehr gute Idee ist!!
=> Durch mehrere Umformungen,die ich verstehe: [mm] x*(a*I_{n}-A)=0
[/mm]
x....Eigenvektor,wobei x..Spalte uind x [mm] \ne [/mm] 0
A....Abbildungsmatrix
[mm] I_{n}....Einheitsmatrix
[/mm]
So x ist nicht 0 => Die Gleichung ist nur erfüllt ,wenn [mm] a*I_{n}-A=0
[/mm]
=> a ist Eigenweet,wenn ´das Gleichungssystem [mm] ((a*I_{n}-A),0) [/mm] KEINE eindeutige Lösung besitzt => [mm] det(a*I_{n}-A)=0 [/mm]
Ich verstehe nicht wieso das Gleichungssystem KEINE eindeutige Lösung haben darf???
Viell. liegt es klar auf der Hand und ich sehe es nicht!!!
MFG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Daniel!
> Hallo!!
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> Ich bin gerade beim Lernen und mir ist alles klar,nur bei
> einer kleinen Sache weiß ich nicht womit man das begründen
> soll!!
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> Es geht um Eigenwerte bzw. Eigenvektoren!!
>
> geg: f: V --> V K-linear
>
> x [mm]\in[/mm] V, [mm]x\ne[/mm] 0 heißt Eigenvektor von V zum Eigenwert a [mm]\in[/mm]
> K <=> f(x)=a*x
>
> So die Abbildung kann man auch als Abbildungsmatrix
> darstellen,was eine sehr gute Idee ist!!
>
> => Durch mehrere Umformungen,die ich verstehe:
> [mm]x*(a*I_{n}-A)=0
[/mm]
Sollte dort nicht eher [mm] $(a*I_n-A)*x=0$ [/mm] stehen? Oder ist $x$ bei euch ein Zeilenvektor?
> x....Eigenvektor,wobei x..Spalte uind x [mm]\ne[/mm] 0
>
> A....Abbildungsmatrix
>
> [mm]I_{n}....Einheitsmatrix
[/mm]
> So x ist nicht 0 => Die Gleichung ist nur erfüllt ,wenn
> [mm]a*I_{n}-A=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du mußt beachten, dass die Lösung der Gleichung [mm] $(\star)$[/mm] [m](a*I_n-A)*x=0[/m] von der Invertierbarkeit der Matrix [mm]a*I_n-A[/mm] abhängt. D.h., ist [m]a*I_n-A[/m] invertierbar (was genau dann der Fall ist, wenn [m]\det(a*I_n-A)\not=0[/m] gilt), so hat [mm] $(\star)$ [/mm] nur die triviale Lösung $x=0$. Das ist dann nicht besonders interessant...
Ist allerdings [m]a*I_n-A[/m] singulär (also nicht invertierbar) (was genau dann der Fall ist, wenn [m]\det(a*I_n-A)=0[/m]), so besitzt [mm] $(\star)$ [/mm] außer der trivialen Lösung $x=0$ auch noch andere.
PS:
Vielleicht interessante Links für dich:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenvektor
http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node55.html
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Do 17.02.2005 | | Autor: | nitro1185 |
Danke für die klare Antwort!!!
MFG Daniel
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