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| Aufgabe | Sei K ein Körper , n [mm] \in \IN [/mm] und A [mm] \in K^{n.n} [/mm] und p [mm] \in [/mm] K[x]
Beweisen Sie oder Widerlegen Sie :
Wenn u [mm] \in [/mm] K ein Eigenwert von A ist , so ist p(u) ein Eigenwert von p(A)
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Mein Beweis : v= Eigenvektor
Es gilt A v= u v , Da u [mm] \in K\subset [/mm] K[x]
=> p(u) v = A v wegen A [mm] \in K^{n.n}\subset K[x]^{n.n} [/mm]
=>p(u) v = p(A) v Beweis ende :)
ist der beweis richtig?
oder komplett falsch ,danke voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Di 28.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich nehm an, p soll ein Polynom sein?
> Sei K ein Körper , n [mm]\in \IN[/mm] und A [mm]\in K^{n.n}[/mm] und p [mm]\in[/mm]
> K[x]
>
> Beweisen Sie oder Widerlegen Sie :
> Wenn u [mm]\in[/mm] K ein Eigenwert von A ist , so ist p(u) ein
> Eigenwert von p(A)
>
> Mein Beweis : v= Eigenvektor
>
> Es gilt A v= u v , Da u [mm]\in K\subset[/mm] K[x]
>
> => p(u) v = A v wegen A [mm]\in K^{n.n}\subset K[x]^{n.n}[/mm]
wie kommst du da drauf? das ist falsch, wenn 2 ein Eigenwert ist, ist doch 4 nicht auch ein Eigenwert?
versuchs erstmal mit [mm] u^2 [/mm] ist EW von [mm] A^2!
[/mm]
Gruss leduart
>
> =>p(u) v = p(A) v Beweis ende :)
das ist keine Folgerung!
> ist der beweis richtig?
leider nein
> oder komplett falsch
leider ja!
Gruss leduart
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Ich verstehe die Beziehung zwischen u² und A² nicht:
Es gilt ja die Gleichung : A v = u v ,das sagt ja nicht nicht das u=A :)
nun ist ja nicht (A v)²= (u v)²=> A²v²=u²v² ,das ist aber falsch ,denn matrixmutliplikation ist für v [mm] \in K^{n} [/mm] nicht definiert ,
oder versteht ich das falsch,
ich will das alles verstehen ,wie kommst du dann von
A v= u v auf A²v=u²v
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> ich will das alles verstehen ,wie kommst du dann von
> A v= u v auf A²v=u²v
Hallo,
ich taufe geringfügig um, damit sich reelle Zahlen auf einen Blick von Vektoren unterscheiden:
Sei A eine Matrix, [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A und v der zugehörige Eigenvektor, d.h. [mm] Av=\lambda [/mm] v.
Du willst nun zeigen, daß [mm] \lambda^2 [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^2 [/mm] ist.
Berechne dazu A^2v.
A^2v=(AA)v=A(Av)=...
Mach hier weiter. Setze [mm] Av=\lambda [/mm] v ein und beachte, daß A eine lineare Abbildung darstellt.
Gruß v. Angela
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danke erstmal an euch beide
es gilt : A v = u v
z.zeigen: u² ist eigenwert von A²
A² v = A (A v)= A (u v)= u ( u v) => u² v =A² v
richtig nur für A² eigenwert von u²?
um jetzt alle polynome zu beweisen muss ich bestimmt vollständige induktion machen oder ?
mein ansatz wäre : Behauptung : Sei [mm] A^{n} [/mm] v [mm] =u^{n} [/mm] v n>= 0
Somit zeige ich es für alle Polynome mit grad >=0 dass sie ein eigenwert existiert ,dann existiert auch für alle summen von polynomen
richtig ?...:)
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> es gilt : A v = u v
>
> z.zeigen: u² ist eigenwert von A²
>
> A² v = A (A v)= A (u v)= u ( u v)
Hallo,
richtig ist das. Kannst Du Dein letztes Gleichheitszeichen begründen?
> => u² v =A² v
Genau.
Das heißt: [mm] u^2 [/mm] ist Eigenwert von [mm] A^2.
[/mm]
>
> richtig nur für A² eigenwert von u²?
>
> um jetzt alle polynome zu beweisen muss ich bestimmt
> vollständige induktion machen oder ?
Du solltest nun zunächst per Induktion zeigen, daß unter der Voraussetzung, daß u Eigenwert von A ist, für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt: [mm] u^n [/mm] ist Eigenwert von [mm] A^n. [/mm]
>
> mein ansatz wäre : Behauptung : Sei Es ist [mm]A^{n}[/mm] v [mm]=u^{n}[/mm] v n>= 0
Wenn Du das gezeigt hast, nimmst Du Dir ein beliebiges Polynom [mm] p\in [/mm] K[x], [mm] p(x):=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i.
[/mm]
Dann berechnest Du p(A)v, was aufgrund der geleisteten Vorarbeit nicht schwierig ist, und ziehst Deine Schlüsse unter Beachtung der Def. von "Eigenwert".
Gruß v. Angela
>
> Somit zeige ich es für alle Polynome mit grad >=0 dass sie
> ein eigenwert existiert ,dann existiert auch für alle
> summen von polynomen
>
> richtig ?...:)
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> es gilt : A v = u v
>
> z.zeigen: u² ist eigenwert von A²
>
> A² v = A (A v)= A (u v)= u ( u v)
Dein Kommentar angela :
Hallo,
richtig ist das. Kannst Du Dein letztes Gleichheitszeichen begründen?
ich kann den letzten Schritt also A (u v)= u ( u v) nicht richtig begründen :),ich weiß ja nur A v = u v, und A (uv) = u ( uv) ,das heiß ja uv ist der eigenvektor von A :) wegen eigenwert von u auf A ist ist uv auch ein eigenvektor von u :) ,wäre das die richtig begründung ?
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> ich kann den letzten Schritt also A (u v)= u ( u v) nicht
> richtig begründen :),
Deine Begündung enthält keine richtig falsche Teilaussage und doch ist sie in ihrer Gesamtheit etwas kraus.
Es ist A(uv)=u(Av) (denn A stellt eine lineare Abbildung dar)
=u(uv) (nach Voraussetzung)
=(uu)v (Vektorraum)
=u^2v
Es ist wichtig, daß man sich zu jedem Zeitpunkt drüber im Klaren ist, wie man solche Dingelchen, die einem wie "Pippifax" vorkommen, begründen kann, selbst, wenn man es nicht immer hinschreibt. Es verkleinert das Risiko Fehler zu machen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Mi 29.08.2007 | | Autor: | Decehakan |
danke für alles angela
lg decehakan
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ehmmm ja ich habs doch irgendwie letzte begründung nicht verstanden
A(uv)=u(Av) (denn A stellt eine lineare Abbildung dar)
was hat das mit lineare Abbildung zu tun
was ich nicht verstehe ist:
A²u= A*A*u=A(Au)=A(Au)=u(Au) <-----den letzten schritt verstehe ich nicht
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> ehmmm ja ich habs doch irgendwie letzte begründung nicht
> verstanden
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> A(uv)=u(Av) (denn A stellt eine lineare Abbildung dar)
> was hat das mit lineare Abbildung zu tun
Hallo,
u bezechnet hier ein Element aus K, v eines aus [mm] K^n.
[/mm]
(Ich riet in einem meiner ertsen Posts dazu, diese unterschiedlichen Objekte mit deutlich verschiedenen Buchstaben zu bezeichnen. Man verzettelt sich dann nicht so leicht.)
Für eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] gilt doch u.a. [mm] \phi(\alpha x)=\alpha \phi(x), \alpha [/mm] Skalar, x Vektor.
Oder meinst Du, was A mit einer linearen Abbildung zu tun hat? A ist darstellende Matrix einer linearen Abbildung.
> was ich nicht verstehe ist:
>
> A²u= A*A*u=A(Au)=A(Au)=u(Au) <-----den letzten schritt
> verstehe ich nicht
Da gibt's auch nichts zu verstehen, und ich hoffe, daß nicht ich das irgendwo so geschrieben habe...
Es muß heißen: A^2v=A(Av)=A(uv)=u(Av) , der lertzte Schritt wegen der Linearität, der vorletzte, weil um den Eigenwert u und denzugehörigen Eigenvektor v geht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Di 18.09.2007 | | Autor: | Decehakan |
ja ja klar , wegen u e K ,kann ich diese gleichung
A(uv)= A u v = u (A v) , das ja nach vorne verschieben .-) ,man bin ich dumm danke trotztdem für alles
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