Eigenwert-Bestimmung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 31.01.2012 | | Autor: | elcy |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie in der Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a\\ 0 & 3 & 0 } [/mm] den Parameter a so, dass es einen doppelten Eigenwert gibt. Geben Sie alle Eigenwerte sowie die dazugehörigen Eigenvektoren an. Gilt für den doppelten Eigenwert, dass die algebraische gleich der geometrische Vielfachheit ist? Für welche a sind alle Eigenwerte ganze Zahlen (allgemeine Formel oder 3 mögliche Werte für a)? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Aufgabenstellung siehe oben. Ich suche die Vorgehensweise, um diese Aufgabe zu lösen. Mein Ansatz war bis jetzt, dass ich die Determinante von A gebildet habe: det(A) = -6a mit a [mm] \not=0 [/mm] . Anschließend bilde ich das charakteristische Polynom für 3-reihige Matrizen:
[mm] p(\lambda)=-\lambda^{3}+2\lambda^{2}+3a\lambda-6a
[/mm]
So, nun weiß ich nicht mehr weiter. Meine Idee war gewesen für a eine Zahl zu wählen (1,2,3, usw.) und mit Hilfe des Taschenrechners (Voyage 200) das Polynom zu faktorisieren. Mit Hilfe des Faktorisierens sehe ich dann, ob es durch das Einsetzen von a=1; 2; usw. eine doppelte Nullstelle erscheint. Leider ist dies nicht der Fall.
Bsp: für a=1 erhalte ich: -(x - 2) [mm] \* [/mm] (x + [mm] \wurzel{3}) \* [/mm] (x - [mm] \wurzel{3})
[/mm]
==> keine doppelte Nullstelle.
Setze ich das nun für a = 2 oder a = 3, usw. fort, erhalte ich ebenfalls keine doppelte Nullstelle.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 31.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie in der Matrix [mm]A = \pmat{ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a\\ 0 & 3 & 0 }[/mm]
> den Parameter a so, dass es einen doppelten Eigenwert gibt.
> Geben Sie alle Eigenwerte sowie die dazugehörigen
> Eigenvektoren an. Gilt für den doppelten Eigenwert, dass
> die algebraische gleich der geometrische Vielfachheit ist?
> Für welche a sind alle Eigenwerte ganze Zahlen (allgemeine
> Formel oder 3 mögliche Werte für a)?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
>
> Aufgabenstellung siehe oben. Ich suche die Vorgehensweise,
> um diese Aufgabe zu lösen. Mein Ansatz war bis jetzt, dass
> ich die Determinante von A gebildet habe: det(A) = -6a mit
> a [mm]\not=0[/mm] . Anschließend bilde ich das charakteristische
> Polynom für 3-reihige Matrizen:
> [mm]p(\lambda)=-\lambda^{3}+2\lambda^{2}+3a\lambda-6a[/mm]
Da kannst du [mm] $(\lambda-2)$ [/mm] ausklammern:
[mm] p(\lambda) = (\lambda-2)(-\lambda^2+3a) [/mm]
Damit ist 2 ein Eigenwert, und die beiden anderen Eigenwerte kannst du leicht ausrechnen.
Der Grund, dass das so funktioniert, liegt darin, dass die Matrix Blockdiagonalgestalt hat: sie zerfällt in zwei Blöcke der Form $(2)$ und [mm] $\pmat{0& a\\ 3 & 0}$, [/mm] und damit zerfällt auch das charakteristische Polynom in zwei Faktoren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 31.01.2012 | | Autor: | elcy |
Und wo ist nun die doppelte Nullstelle?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Di 31.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo elcy!
Bestimme die Nullstellen allgemein, d.h. in Abhängigkeit vom Parameter $a_$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und wo ist nun die doppelte Nullstelle?
[mm] $$(\lambda-2)*(-\lambda^2+3a)=0$$
[/mm]
gilt genau dann, wenn [mm] $\lambda=2$ [/mm] oder [mm] $\lambda^2=3a\,.$ [/mm] Wann [mm] $\lambda^2=3a$ [/mm] keine, genau eine oder genau zwei Nullstellen hat, ist Dir klar, oder? Somit kommt (folgendes bezieht sich natürlich auf Deine obige Frage wegen der doppelten Nullstelle!) für den Parameter [mm] $a\,$ [/mm] der Fall a kleinergleich 0 nicht in Frage! [Korrektur: Natürlich ist da gemeint, dass der Fall $a < [mm] 0\,$ [/mm] nicht in Frage kommt. Im Falle [mm] $a=0\,$ [/mm] ist [mm] $0\,$ [/mm] DOPPELTER EIGENWERT, wie schon später richtig angemerkt wurde!] Und für $a > 0$ gibt's nur noch eine Möglichkeit, so dass auch $2 [mm] \in \{\lambda > 0:\lambda^2=3a\}$ [/mm] gilt.
Anders gesagt:
[mm] $$\lambda^2=3a$$
[/mm]
soll insbesondere für [mm] $\lambda=2$ [/mm] erneut gelten. Einsetzen, und [mm] $a\,$ [/mm] berechnen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie in der Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a\\ 0 & 3 & 0 }[/mm]
> den Parameter a so, dass es einen doppelten Eigenwert gibt.
> Geben Sie alle Eigenwerte sowie die dazugehörigen
> Eigenvektoren an. Gilt für den doppelten Eigenwert, dass
> die algebraische gleich der geometrische Vielfachheit ist?
> Für welche a sind alle Eigenwerte ganze Zahlen (allgemeine
> Formel oder 3 mögliche Werte für a)?
zu der "Ganzzahl-Frage":
Du hast ja schon gesehen, dass man die Eigenwerte mithilfe des charakteristischen Polynoms durch Lösen von
[mm] $$(\lambda-2)(-\lambda^2+3a)=0$$
[/mm]
erhält. Damit ist stets [mm] $2\,$ [/mm] ein ganzzahliger Eigenwert, und alles beschränkt sich darauf, den Parameter [mm] $a\,$ [/mm] so festzulegen, dass, für $a [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $$[\lambda \in \IZ \wedge \lambda^2=3a] \gdw [\lambda=\pm \sqrt{3a} \in \IZ]\,.$$
[/mm]
Anders gesagt: Genau dann, wenn [mm] $a\,$ [/mm] ein Drittel einer Quadratzahl ist, sind auch alle Eigenwerte ganzzahlig, bspw.:
[mm] $$a=4^2/3 \Rightarrow \lambda^2=4^2 \gdw \lambda=\pm\sqrt{4^2} \gdw \lambda=\pm [/mm] |4| [mm] \gdw \lambda=\pm 4\,.$$
[/mm]
Passt!
Gruß,
Marcel
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Hallo elcy,
> Ok, super, vielen Dank! 
>
> Wie erfolgt dann die Berechnung der Eigenvektoren?
>
> Für den allgemeinen Fall, ohne a genau zu bestimmen:
> 1.) a = [mm]\bruch{\lambda^{2}}{3}[/mm] in die Matrix A
> einzusetzen;
Nein, der Eigenwert (bzw. die beiden von a abh. Eigenwerte) sind doch [mm]\lambda_1=\sqrt{3a}[/mm] und [mm]\lambda_2=-\sqrt{3a}[/mm]
Dann musst du den Kern von [mm]A-\lambda_1\cdot{}\mathbb{E}_3[/mm], resp. von [mm]A-\lambda_2\cdot{}\mathbb{E}_3[/mm] berechnen
> damit folgt:
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \bruch{\lambda^{2}}{3} \\
0 & 3 & 0}[/mm]
Nein, hier hast du zu den Eigenwerten [mm]\lambda_{1,2}[/mm] die Matrizen
[mm]\pmat{2-\sqrt{3a}&0&0\\
0&-\sqrt{3a}&a\\
0&3&-\sqrt{3a}[/mm] (für [mm]\lambda_1[/mm]) und [mm]\pmat{2+\sqrt{3a}&0&0\\
0&\sqrt{3a}&a\\
0&3&\sqrt{3a}[/mm] (für [mm]\lambda_2[/mm])
Berechne deren Kerne und du findest entspr. Eigenvektoren
>
> 2.) (A - 2E)x=0:
Nein, für [mm]\lambda=2[/mm] hast du doch [mm]A-2\mathbb{E}=\pmat{2-2&0&0\\
0&-2&a\\
0&3&-2}=\pmat{0&0&0\\
0&-2&a\\
0&3&\-2}[/mm]
Berechne auch hier den Kern und greife einen EV ab
>
> [mm]=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \bruch{\lambda^{2}}{3} \\
0 & 3 & 0}[/mm]
> - [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2}[/mm] *
> [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}}[/mm] = 0
>
> daraus folgt dann:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & \bruch{\lambda^{2}}{3} \\
0 & 3 & -2}[/mm]
> * [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}}[/mm] = 0
>
> Schaut man sich die 3. Zeile an, dann erhält man für
> [mm]x_{2}=2[/mm] und [mm]x_{3}=3[/mm] wählen. Zusätzlich wird [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]\nu= \vektor{0 \\
2 \\
3}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
> * [mm]\bruch{\lambda^{2}}{3}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> Für den Fall, dass 2 die doppelte Nullstelle ist, folgt: a
> = 4/3
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \bruch{4}{3} \\
0 & 3 & 0}[/mm]
>
> 2.) (A - 2E)x=0:
>
> [mm]=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \bruch{4}{3} \\
0 & 3 & 0}[/mm] -
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2}[/mm] * [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}}[/mm]
> = 0
>
> daraus folgt dann:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & \bruch{4}{3} \\
0 & 3 & -2}[/mm] *
> [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}}[/mm] = 0
>
> Daraus folgt: [mm]\nu[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
1 \\
\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Damit folgt, dass die alg. VFH = 2 ist und die geo. VFH =
> 1
>
> Ist das so richtig?
>
Nein!
> Vielen Dank schon mal im Voraus!
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 02.02.2012 | | Autor: | elcy |
Jetzt bin ich durch schachuzipus Antwort total verwirrt. Schachuzipus sagt:
Nein, für [mm] \lambda=2 [/mm] hast du doch [mm] A-2\mathbb{E}=\pmat{2-2&0&0\\ 0&-2&a\\ 0&3&-2}=\pmat{0&0&0\\ 0&-2&a\\ 0&3&\-2} [/mm] [Gleichung 1]
Hieraus soll ich nun den Eigenvektor bestimmen. Das in der obigen Matrizengleichung nun wieder a drinsteht, verwirrt mich. Ich suche ja a so, dass ich dann einen doppelten Eigenwert erhalte.
Laut Marcel:
[mm] (\lambda-2)\cdot{}(-\lambda^2+3a)=0 [/mm]
gilt genau dann, wenn [mm] \lambda=2 [/mm] oder [mm] \lambda^2=3a\,. [/mm] Wann [mm] \lambda^2=3a [/mm] keine, genau eine oder genau zwei Nullstellen hat, ist Dir klar, oder? Somit kommt (folgendes bezieht sich natürlich auf Deine obige Frage wegen der doppelten Nullstelle!) für den Parameter [mm] a\, [/mm] der Fall a [mm] \le [/mm] 0 nicht in Frage! Und für a > 0 gibt's nur noch eine Möglichkeit, so dass auch 2 [mm] \in \{\lambda > 0:\lambda^2=3a\} [/mm] gilt.
Anders gesagt:
[mm] \lambda^2=3a [/mm]
soll insbesondere für [mm] \lambda=2 [/mm] erneut gelten. Einsetzen, und [mm] a\, [/mm] berechnen!
Das habe ich gemacht und damit folgt a= [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Das bedeutet dann, dass 2 eine doppelte Nullstelle hat mit a= [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Aus diesem Grund, setzte ich für a diesen Wert ein und bestimme nun den Eigenvektor von 2 (als doppelte Nullstelle). So habe ich das verstanden. Aber schachuzipus sagt mir, ich soll den Eigenvektor von 2, wie die obige Matritzengleichung [Gleichung 1] bestimmen, also ohne a = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] einzusetzen.
Ich bin verwirrt....Wie soll ich nun Schritt für Schritt vorgehen, um diese Aufgabe 100%ig zu lösen??
Ich versuche es erneut mit meinen Ansatz und bitte euch mir (als Mathe-Laie) mir zu helfen!
1.) det(A) bestimmen.
2.) Charakteristisches Polynom erstellen: [mm] p(\lambda)=(\lambda-2)\cdot{}(-\lambda^2+3a)
[/mm]
3.) Anhand des Polynoms kann ich nun den ersten EW bestimmen, nämlich [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
4.) Der 2. und 3. EW ist dann [mm] \lambda_{2,3}= \pm \wurzel{3a}
[/mm]
5.) Daraus kann ich dann sehen, dass genau dann, wenn a gleich ein Drittel einer Quadratzahl ist, sind auch alle Eigenwerte ganzzahlig.
6.) für a = [mm] \bruch{\lambda^{2}}{3} [/mm] und mit [mm] \lambda [/mm] = 2 folgt, dass [mm] \lambda [/mm] = 2 die doppelte Nullstelle ist (die Erklärung hierfür kann ich nicht erkennen...)
7.) Eigenvektor für 2 bestimmen.
8.) Eigenvektor für [mm] \pm \wurzel{3a} [/mm] bestimmen.
Ich danke euch hier erneut für eure Hilfe!
Grüße,
elcy
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Hallo nochmal,
> Jetzt bin ich durch schachuzipus Antwort total verwirrt.
> Schachuzipus sagt:
>
> Nein, für [mm]\lambda=2[/mm] hast du doch
> [mm]A-2\mathbb{E}=\pmat{2-2&0&0\\
0&-2&a\\
0&3&-2}=\pmat{0&0&0\\
0&-2&a\\
0&3&\-2}[/mm]
> [Gleichung 1]
>
> Hieraus soll ich nun den Eigenvektor bestimmen. Das in der
> obigen Matrizengleichung nun wieder a drinsteht, verwirrt
> mich. Ich suche ja a so, dass ich dann einen doppelten
> Eigenwert erhalte.
>
> Laut Marcel:
>
> [mm](\lambda-2)\cdot{}(-\lambda^2+3a)=0[/mm]
>
> gilt genau dann, wenn [mm]\lambda=2[/mm] oder [mm]\lambda^2=3a\,.[/mm] Wann
> [mm]\lambda^2=3a[/mm] keine, genau eine oder genau zwei Nullstellen
> hat, ist Dir klar, oder? Somit kommt (folgendes bezieht
> sich natürlich auf Deine obige Frage wegen der doppelten
> Nullstelle!) für den Parameter [mm]a\,[/mm] der Fall a [mm]\le[/mm] 0 nicht
> in Frage!
Für [mm]a=0[/mm] hast du also [mm]\lambda=2[/mm] und [mm]\lambda^2=3\cdot{}0=0[/mm], also [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=0[/mm]
Also ist für [mm]a=0[/mm] [mm]\lambda=0[/mm] doppelter Eigenwert
Für [mm]a<0[/mm] hat [mm]\lambda^2=3a[/mm] keine Lösung und für [mm]a>0[/mm] die zwei verschiedenen Lösungen [mm]\lambda_2=+\sqrt{3a}[/mm] und [mm]\lambda_3=-\sqrt{3<}[/mm]
> Und für a > 0 gibt's nur noch eine Möglichkeit,
> so dass auch 2 [mm]\in \{\lambda > 0:\lambda^2=3a\}[/mm] gilt.
Hä?
>
> Anders gesagt:
>
> [mm]\lambda^2=3a[/mm]
>
> soll insbesondere für [mm]\lambda=2[/mm] erneut gelten.
Hä?
Nein, allg. in Abh. von [mm]a[/mm] hast du bis zu 3 Eigenwerte:
1) [mm]\lambda=2[/mm] (unabh. von a), der ist immer Eigenwert
2) [mm]\lambda[/mm] als Lösung von [mm]\lambda^2=3a[/mm]
Das hat für [mm]a=0[/mm] die doppelte Lösung [mm]\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] (also insges. nur 2 Eigenwerte [mm] $\lambda=2$ [/mm] (einfach) und [mm] $\lambda=0$ [/mm] (doppelt)
Und für [mm]a>0[/mm] zwei verschiedene Lösungen [mm]\lambda_2=+\sqrt{3a}[/mm] und [mm]\lambda_3=-\sqrt{3a}[/mm], also insges. 3 Eigenwerte [mm] $\lambda=2,\lambda=+\sqrt{3a},\lambda=-\sqrt{3a}$
[/mm]
Für $a<0$ hat 2) keine Lösung, und der einzige (einfache) Eigenwert ist [mm] $\lambda=2$
[/mm]
Fazit: Nur für [mm]a=0[/mm] gibt es einen doppelten Eigenwert, nämlich [mm]\lambda=0[/mm]
> Einsetzen,
> und [mm]a\,[/mm] berechnen!
>
> Das habe ich gemacht und damit folgt a= [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> Das bedeutet dann, dass 2 eine doppelte Nullstelle hat mit
> a= [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> Aus diesem Grund, setzte ich für a diesen Wert ein und
> bestimme nun den Eigenvektor von 2 (als doppelte
> Nullstelle). So habe ich das verstanden. Aber schachuzipus
> sagt mir, ich soll den Eigenvektor von 2, wie die obige
> Matritzengleichung [Gleichung 1] bestimmen, also ohne a =
> [mm]\bruch{4}{3}[/mm] einzusetzen.
Ich verstehe gar nicht, was du machst. Die Eigenwerte bezeichnen wir mit [mm]\lambda[/mm] und sollen schauen, ob (und für welche(s) a) es einen doppelten Eigenwert gibt ...
>
> Ich bin verwirrt....Wie soll ich nun Schritt für Schritt
> vorgehen, um diese Aufgabe 100%ig zu lösen??
>
> Ich versuche es erneut mit meinen Ansatz und bitte euch mir
> (als Mathe-Laie) mir zu helfen!
>
> 1.) det(A) bestimmen.
Nein, [mm]det(A-\lambda\mathbb{E}_3)[/mm]
> 2.) Charakteristisches Polynom erstellen:
> [mm]p(\lambda)=(\lambda-2)\cdot{}(-\lambda^2+3a)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3.) Anhand des Polynoms kann ich nun den ersten EW
> bestimmen, nämlich [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2
> 4.) Der 2. und 3. EW ist dann [mm]\lambda_{2,3}= \pm \wurzel{3a}[/mm]
>
> 5.) Daraus kann ich dann sehen, dass genau dann, wenn a
> gleich ein Drittel einer Quadratzahl ist, sind auch alle
> Eigenwerte ganzzahlig.
Nein, Unsinn, aus 3. siehst du, dass [mm]\lambda_{2,3}[/mm] für [mm]a<0[/mm] Unsinn sind, für [mm]a=0[/mm] bekommst du [mm]\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] und für [mm]a>0[/mm] [mm]\lambda_2=+\sqrt{3a}[/mm] und [mm]\lambda_3=-\sqrt{3a}[/mm]
> 6.) für a = [mm]\bruch{\lambda^{2}}{3}[/mm]
Das ist doch Unsinn! Der Eigenwert, den es zu bestimmen gilt, heißt [mm]\lambda[/mm] !!
> und mit [mm]\lambda[/mm] = 2
> folgt, dass [mm]\lambda[/mm] = 2 die doppelte Nullstelle ist (die
> Erklärung hierfür kann ich nicht erkennen...)
Nein!
> 7.) Eigenvektor für 2 bestimmen.
Ändert sich dabei etwas, je nachdem, ob [mm]a=0[/mm] oder [mm]a>0[/mm] ist?
> 8.) Eigenvektor für [mm]\pm \wurzel{3a}[/mm] bestimmen.
Ja, einmal für [mm]a>0[/mm], einmal für [mm]a=0[/mm]
>
> Ich danke euch hier erneut für eure Hilfe!
>
> Grüße,
> elcy
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Do 02.02.2012 | | Autor: | elcy |
Ahhhhh Jetzt verstehe ich, wie man die Lösung erhält! Tausend Dank!!!!
Nur noch eine Bemerkung zu meinen Lösungsansatz: Bei 1.) habe ich "det(A) bestimmen" geschrieben, weil ich ja die Determinante für die Erstellung des charakteristischen Polynoms benötige. Also, ist es ja nicht falsch.
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Hallo nochmal,
> Ahhhhh Jetzt verstehe ich, wie man die Lösung erhält!
Guuut!
> Tausend Dank!!!!
Gerne!
>
> Nur noch eine Bemerkung zu meinen Lösungsansatz: Bei 1.)
> habe ich "det(A) bestimmen" geschrieben, weil ich ja die
> Determinante für die Erstellung des charakteristischen
> Polynoms benötige. Also, ist es ja nicht falsch.
Naja, es ist ja das char. Polynom [mm]\chi(\lambda)[/mm] die Determinante von [mm]A-\lambda\mathbb{E}_3[/mm]
Also musst du nicht det(A), sondern [mm]det(A-\lambda\mathbb{E}_3)[/mm] bestimmen.
Bis dann
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 02.02.2012 | | Autor: | elcy |
Ich bin gerade dabei die Eigenvektoren für [mm] \lambda [/mm] = 2 und mit a = 0 (doppelte Nullstelle) auszurechnen.
$ [mm] A-2\mathbb{E}=\pmat{2-2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&-2}=\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&\-2} [/mm] $
Durch a = 0 ist die Determinante von A = 0. Also ist die Matrix singulär und [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0 nichttrivial lösbar.
Was schreibe ich nun als Eigenvektor hin? Gibt es überhaupt einen Eigenvektor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich bin gerade dabei die Eigenvektoren für [mm]\lambda[/mm] = 2 und
> mit a = 0 (doppelte Nullstelle) auszurechnen.
>
> [mm]A-2\mathbb{E}=\pmat{2-2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&-2}=\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&\-2}[/mm]
>
> Durch a = 0 ist die Determinante von A = 0. Also ist die
> Matrix singulär und [mm](A-\lambda[/mm] E)x=0 nichttrivial lösbar.
>
> Was schreibe ich nun als Eigenvektor hin? Gibt es
> überhaupt einen Eigenvektor?
Dir ist wohl nicht klar, wie man auf "das alles kommt", also wiederholen wir es mal (ich glaube, ich hatte Dir das aber alles auch schonmal hier erklärt - nur halt bei der "Herleitung der Gleichung für die Eigenwertbestimmung(en)"):
Wir haben [mm] $\lambda=2$ [/mm] als Eigenwert erkannt. Um alle $v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0_V\}$ [/mm] aufzufinden, die
[mm] $$A*v=2*v\,$$
[/mm]
(anstelle der [mm] $2\,$ [/mm] kannst Du auch immer "allgemein" einen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] stehenlassen!) erfüllen, macht man erstmal folgendes: Man schreibt [mm] $2*v=2*(\mathbb{E}*v)=(2*\mathbb{E})*v$ [/mm] und erhält
$$A*v=2*v [mm] \gdw A*v=(2*\mathbb{E})*v \gdw (A-2\mathbb{E})*v=0_V\,.$$
[/mm]
Warum bringt uns das was? Naja, weil diese Umformung besagt, dass man dann mit
[mm] $$B=B(\lambda):=A-\lambda\mathbb{E}$$
[/mm]
bzw. hier
[mm] $$B=B(2):=A-2\mathbb{E}$$
[/mm]
alle Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] (hier: [mm] $=2\,$) [/mm] von [mm] $A\,$ [/mm] erhält, indem man den Kern von [mm] $B\,$ [/mm] berechnet und aus diesem [mm] $0_V$ [/mm] entfernt.
Anders bzw. allgemein(er) gesagt:
Ist [mm] $\lambda\,$ [/mm] ein Eigenwert der Matrix [mm] $A\,,$ [/mm] so ist die Menge aller Eigenvektoren [mm] $v\,$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] gegeben durch
[mm] $$\text{kern}(A-\lambda\mathbb{E}) \setminus \{0_V\}\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass per Definitionem [mm] $0_V$ [/mm] kein Eigenvektor ist, aber [mm] $0_V$ [/mm] in dem Kern liegt!)
Und wie man den Kern einer Matrix bestimmt, weißt Du sicher, oder? (Danach denke nur daran, dass Du aus dem Kern auch die [mm] "$0_V$" [/mm] noch rauszuschmeißen hast!)
P.S.:
Zur Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $0=0_K$:
[/mm]
Was heißt es, dass [mm] $0_{K}\,$ [/mm] (die "Null des skalaren Körpers") ein Eigenwert ist? Das heißt doch für jeden zu [mm] $0_K\,$ [/mm] zugehörigen Eigenvektor [mm] $v\,$ [/mm] (beachte, dass man $v [mm] \not=0_V$ [/mm] fordert!), dass:
[mm] $$A*v=0_K*v\,.$$
[/mm]
gilt. Nun ist aber [mm] $0_k*v=0_V$ [/mm] der Nullvektor aus [mm] $V\,,$ [/mm] also gilt
[mm] $$A*v=0_V$$
[/mm]
für alle zu [mm] $0_K$ [/mm] zugehörigen Eigenvektoren [mm] $v\not=0_V\,.$ [/mm] Anders gesagt:
Genau die $v [mm] \in [/mm] V$ sind Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $0_K\,,$ [/mm] die
$$v [mm] \in \text{kern}(A)\setminus \{0\}$$
[/mm]
erfüllen.
Das sind natürlich genau die gleichen Überlegungen, die ich im ersten Teil geschrieben hatte - anders gesagt: Ich hätte mir das hier auch sparen können, denn der erste Teil enthält insbesondere dieses Ergebnis: Wir hatten nämlich gesehen:
Die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] der Matrix [mm] $A\,$ [/mm] ist gerade
[mm] $$=\text{kern}(A-\lambda\mathbb{E}) \setminus \{0\}\,,$$
[/mm]
also falls [mm] $\lambda=0_K$ [/mm] ein Eigenwert für [mm] $A\,$ [/mm] ist, ist die zu [mm] $0_K$ [/mm] zugehörige Menge der Eigenvektoren gerade
[mm] $$\text{kern}(A) \setminus \{0\}\,.$$
[/mm]
Fazit zu oben:
Um die Menge der Eigenvektoren des Eigenwertes [mm] $2\,$ [/mm] von [mm] $A\,$ [/mm] zu bestimmen, berechne
[mm] $$\text{kern}\Big(\underbrace{\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&\-2}}_{=A-2\mathbb{E}}\Big) \setminus \{0_V\}\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 02.02.2012 | | Autor: | elcy |
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was der Kern ist bzw. im kompletten Skript erscheint kein einziges Mal was von Kern. Durch Suchen im Internet, habe ich eine "einfache" Definition gefunden: Der Kern ist einfach die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0
Wenn das stimmt, dann gibt es doch keine Lösung, weil in der 2. Zeile steht:
-2 = 0 --> Widerspruch!
Ich werde einfach nicht schlau draus....
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Hallo elcy,
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was der Kern ist bzw. im
> kompletten Skript erscheint kein einziges Mal was von Kern.
> Durch Suchen im Internet, habe ich eine "einfache"
> Definition gefunden: Der Kern ist einfach die Lösungsmenge
> des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0
>
> Wenn das stimmt, dann gibt es doch keine Lösung, weil in
> der 2. Zeile steht:
>
> -2 = 0 --> Widerspruch!
>
Das ist nicht richtig.
Du suchst die Lösung des GLeichungssystems
[mm]\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&-2} \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\0}[/mm]
Ausgeschrieben lautet das:
[mm]0*x_{1}+0*x_{2}+0*x_{3}=0[/mm]
[mm]0*x_{1}+\left(-2\right)*x_{2}+0*x_{3}=0[/mm]
[mm]0*x_{1}+3*x_{2}+\left(-2\right)*x_{3}=0[/mm]
Aus der 2. Gleichung ergibt sich damit [mm]\left(-2\right)*x_{2}=0[/mm],
woraus [mm]x_{2}=0[/mm] folgt.
> Ich werde einfach nicht schlau draus....
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was der Kern ist bzw. im
> kompletten Skript erscheint kein einziges Mal was von Kern.
> Durch Suchen im Internet, habe ich eine "einfache"
> Definition gefunden: Der Kern ist einfach die Lösungsmenge
> des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0
richtig. Pass' nur auf, dass bei
$$ [mm] \text{kern}\Big(\underbrace{\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&\-2}}_{=A-2\mathbb{E}}\Big) \setminus \{0_V\}\,. [/mm] $$
die Matrix nicht [mm] $A\,,$ [/mm] sondern [mm] $A-2\mathbb{E}=\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&\-2}\,$ [/mm] heißt (die "Variable" [mm] $A\,$ [/mm] hat in Deiner Aufgabe schon eine andere, feste Bedeutung).
> Wenn das stimmt, dann gibt es doch keine Lösung, weil in
> der 2. Zeile steht:
>
> -2 = 0 --> Widerspruch!
Meines Wissens nach ist
[mm] $$\pmat{0&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&3&\-2}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0x_1+0x_2+0x_3\\0x_1-2x_2+0x_3\\0x_1+3x_2+2x_3}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt dann, wenn ich das mit [mm] $(0,0,0)^T$ [/mm] gleichsetze:
[mm] $x_2=0\,,$ [/mm] damit dann [mm] $x_3=0$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] kann ich wählen, wie ich gerade Lust habe (da man den Nullvektor nicht als Eigenvektor zuläßt, muss ich dabei nur [mm] $x_1 \not=0$ [/mm] beachten)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ahhhhhhhhhhhhh *ein Lichtlein geht auf* ich wusste nicht,
> dass ich dann für [mm]x_{1}[/mm] irgend eine Zahl wählen kann.
> Manchmal kann es so einfach sein...
>
> Das heisst, wenn ich es jetzt (hoffentlich) entgültig
> richtig verstanden habe, dass der Eigenvektor des
> Eigenwerts von 2 z.B. [mm]\nu=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist. Oder
> z.B. [mm]\nu=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] usw.
eben, weil "der" nicht eindeutig ist, sprichst Du besser von "einem Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $2\,.$"
[/mm]
Genauer:
Die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $2\,$ [/mm] ist hier
[mm] $$\left\{\alpha*\vektor{1\\0\\0}: \alpha \in \IR \setminus \{0\}\right\}\,.$$
[/mm]
> Vielen Dank!!! Ich denke, dass ich jetzt nach 2 Tagen
> endlich mal wieder ruhig schlafen kann
>
> Zu deiner Frage mit der Bezeichnung für die
> "Nullstellenmenge einer linearen Abbildung" habe ich im
> Schnelldurchgang nichts im Skript gefunden. Auch mit Hilfe
> der Suchfunktion (pdf-Datei) habe ich nichts finden
> können. Wenn du willst, kann ich dir mal das Skript per
> Email schicken, falls Interesse besteht.
Ja, ich schick' Dir mal 'ne PN, wo Du's hinschicken kannst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was der Kern ist bzw. im
> kompletten Skript erscheint kein einziges Mal was von Kern.
> Durch Suchen im Internet, habe ich eine "einfache"
> Definition gefunden: Der Kern ist einfach die Lösungsmenge
> des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0
mal nebenbei: Diese Definition ist, wenn man Matrizen als "Repräsentanten linearer Abbildungen" auffasst, nichts anderes als die Aussage, dass der Kern genau aus "den Nullstellen der entsprechend zur Matrix zugehörigen linearen Abbildung" besteht.
Habt ihr denn wenigstens eine Bezeichnung für die "Nullstellenmenge einer linearen Abbildung"? Eigentlich sollte man wenigstens diese dann mit dem Begriff "Kern" definiert haben. Das ist übrigens etwas, was Euer Dozent nachzuholen hat - was er hoffentlich noch tun wird. Schnapp' Dir mal irgendein Buch ("Hochschulniveau") über lineare Algebra, und schau' ins Inhaltsverzeichnis: Da wirst Du sicher den Begriff "Kern" finden!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
>
>
> > Jetzt bin ich durch schachuzipus Antwort total verwirrt.
> > Schachuzipus sagt:
> >
> > Nein, für [mm]\lambda=2[/mm] hast du doch
> > [mm]A-2\mathbb{E}=\pmat{2-2&0&0\\
0&-2&a\\
0&3&-2}=\pmat{0&0&0\\
0&-2&a\\
0&3&\-2}[/mm]
> > [Gleichung 1]
> >
> > Hieraus soll ich nun den Eigenvektor bestimmen. Das in der
> > obigen Matrizengleichung nun wieder a drinsteht, verwirrt
> > mich. Ich suche ja a so, dass ich dann einen doppelten
> > Eigenwert erhalte.
> >
> > Laut Marcel:
> >
> > [mm](\lambda-2)\cdot{}(-\lambda^2+3a)=0[/mm]
> >
> > gilt genau dann, wenn [mm]\lambda=2[/mm] oder [mm]\lambda^2=3a\,.[/mm] Wann
> > [mm]\lambda^2=3a[/mm] keine, genau eine oder genau zwei Nullstellen
> > hat, ist Dir klar, oder? Somit kommt (folgendes bezieht
> > sich natürlich auf Deine obige Frage wegen der doppelten
> > Nullstelle!) für den Parameter [mm]a\,[/mm] der Fall a [mm]\le[/mm] 0 nicht
> > in Frage!
>
> Für [mm]a=0[/mm] hast du also [mm]\lambda=2[/mm] und [mm]\lambda^2=3\cdot{}0=0[/mm],
> also [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=0[/mm]
>
> Also ist für [mm]a=0[/mm] [mm]\lambda=0[/mm] doppelter Eigenwert
stimmt, das war mein Fehler. Sorry an Euch für die Verwirrung: Ich hätte dran denken sollen, dass auch [mm] $0\,$ [/mm] "doppelter" Eigenwert sein kann!
Gruß,
Marcel
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