Eigenw. in endl. VR < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IF_5^{5 \times 5} [/mm] gegeben durch A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 }
[/mm]
Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. |
Hallo zusammen,
ich habe mit Aufgaben wie der obigen leider immer wieder Probleme. Das liegt nicht daran, dass ich grundsätzlich keine Eigenwerte bestimmen kann, sondern daran, dass ich Probleme habe die Eigenwerte in einem Vektorraum wie [mm] \IF_5 [/mm] zu bestimmen.
Gibt es hier einen "Trick" mit dem man sehen kann wo ich die Endlichkeit des Vektorraums ausnutzen kann? Oder vielleicht ein einfaches Verfahren, wie ich so eine Aufgabe schneller lösen kann?
Hier würde ich jetzt zunächst Laplace nach der zweiten Zeile entwickeln.
[mm] \chi_A [/mm] = det [mm] (\pmat{ x & -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -1 & x-2 }) [/mm] = x * det [mm] (\pmat{ x & 1 & 2 & -2 \\ 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & x-2 })
[/mm]
Aber ab hier wird der Rest so kompliziert, dass ich mir denke, dass entweder schon der erste Schritt "falsch" war, oder das es an dieser Stelle einen "Trick" geben muss.
Wenn ich erst mal wie in [mm] \IR [/mm] weiter rechne, dann ist ja [mm] \chi_A [/mm] = [mm] -x^5 [/mm] + [mm] 6x^4 [/mm] - [mm] 8x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] + 21x - 10. Da wir aber ja in [mm] \IF_5 [/mm] sind müsste ich das doch zu [mm] \chi_A [/mm] = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + x + 1 "vereinfachen" können, oder? Aber auch hier muss ich zur Bestimmung der Nullstellen ja immer noch ausnutzen, dass ich in [mm] \IF_5 [/mm] bin. Das kann doch nicht über "raten" oder "sehen" passieren. Gibt es nicht einfache Verfahren, ähnlich zur Nullstellenbestimmung in [mm] \IR [/mm] die man hier anwenden kann?
Schonmal vielen Dank und schöne Grüße,
Avinu
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> Es sei A [mm]\in \IF_5^{5 \times 5}[/mm] gegeben durch A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mit Aufgaben wie der obigen leider immer wieder
> Probleme. Das liegt nicht daran, dass ich grundsätzlich
> keine Eigenwerte bestimmen kann, sondern daran, dass ich
> Probleme habe die Eigenwerte in einem Vektorraum wie [mm]\IF_5[/mm]
> zu bestimmen.
Allgemeines Prinzip:
Das Rechnen in endlichen Körpern ist deutlich einfacher, als in unendlichen.
Schlicht weil es nur endlich viele Fälle gibt.
> Gibt es hier einen "Trick" mit dem man sehen kann wo ich
> die Endlichkeit des Vektorraums ausnutzen kann?
Es geht hier nicht um die Endlichkeit des VR (die Bezeichnung wird für endlich-dim. VR über beliebigen Körpern verwendet) sondern um die Endlichkeit des Grundkörpers.
> Oder
> vielleicht ein einfaches Verfahren, wie ich so eine Aufgabe
> schneller lösen kann?
>
> Hier würde ich jetzt zunächst Laplace nach der zweiten
> Zeile entwickeln.
>
> [mm]\chi_A[/mm] = det [mm](\pmat{ x & -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
Die zweite Zeile passt nicht zur Angabe.
> = x * det [mm](\pmat{ x & 1 & 2 & -2 \\ 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
>
> Aber ab hier wird der Rest so kompliziert, dass ich mir
> denke, dass entweder schon der erste Schritt "falsch" war,
> oder das es an dieser Stelle einen "Trick" geben muss.
Ich wüsste keinen.
> Wenn ich erst mal wie in [mm]\IR[/mm] weiter rechne, dann ist ja
> [mm]\chi_A[/mm] = [mm]-x^5[/mm] + [mm]6x^4[/mm] - [mm]8x^3[/mm] - [mm]8x^2[/mm] + 21x - 10.
Mal eine Frage: Was ist in den reellen Zahlen weniger kompliziert als oben, dass du hier ohne dich zu beschweren weiterrechnest?
> Da wir aber
> ja in [mm]\IF_5[/mm] sind müsste ich das doch zu [mm]\chi_A[/mm] = [mm]x^4[/mm] +
> [mm]2x^3[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + x + 1 "vereinfachen" können, oder?
Ja, man kann das vereinfachen. Wie du vereinfachst versteh ich aber nicht mal im Ansatz.
Man reduziert die Koeffizienten modulo 5.
> Aber auch
> hier muss ich zur Bestimmung der Nullstellen ja immer noch
> ausnutzen, dass ich in [mm]\IF_5[/mm] bin. Das kann doch nicht über
> "raten" oder "sehen" passieren. Gibt es nicht einfache
> Verfahren, ähnlich zur Nullstellenbestimmung in [mm]\IR[/mm] die
> man hier anwenden kann?
Wie sind in einem Körper mit 5 Elementen. Es gibt also ganze 5 Kandidaten für die Nullstellen. Einfach alle Durchprobieren.
Ich wüßte nicht was noch einfacher sein könnte.
> Schonmal vielen Dank und schöne Grüße,
> Avinu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo MaslanyFanclub,
erst mal vielen Dank für deine Antwort.
> Es geht hier nicht um die Endlichkeit des VR (die
> Bezeichnung wird für endlich-dim. VR über beliebigen
> Körpern verwendet) sondern um die Endlichkeit des
> Grundkörpers.
Ok, mein Fehler. Danke für das klar stellen. Grundsätzlich ist mir der Unterschied aber bewusst.
> > [mm]\chi_A[/mm] = det [mm](\pmat{ x & -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
> Die zweite Zeile passt nicht zur Angabe.
> > = x * det [mm](\pmat{ x & 1 & 2 & -2 \\ 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
Uups, ja, das war ein Tippfehler. Es muss natürlich lauten
[mm]\chi_A[/mm] = det [mm](\pmat{ x & -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -1 & x-2 })[/mm] = (x-1) * det [mm](\pmat{ x & 1 & 2 & -2 \\ 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
> Mal eine Frage: Was ist in den reellen Zahlen weniger
> kompliziert als oben, dass du hier ohne dich zu beschweren
> weiterrechnest?
Ich beschwere mich ja nicht. Aber in der Regel sind bei uns die Übungs- bzw. Klausuraufgaben so gestellt, dass man es mit relativ handlichen Ausdrücken und Zahlen zu tun hat. Auch wenn dass, was handlich ist stark subjektiv ist, denke ich mir oft, dass ich etwas übersehen habe, wenn es über einen bestimmten Grad an Komplexität hinaus geht. Wenn ich mir dann später die Lösung anschaue, dann war das auch meist der Fall.
> Ja, man kann das vereinfachen. Wie du vereinfachst versteh
> ich aber nicht mal im Ansatz.
> Man rediziert die Koeffizienten modulo 5.
Ok, den ersten Fehler, den ich gemacht habe war auch [mm] x^5 [/mm] zu "vereinfachen" das geht natürlich so nicht, ist mir klar. Aber bei dem Rest? Es ist doch -1 [mm] \equiv [/mm] 4, 6 [mm] \equiv [/mm] 1, -8 [mm] \equiv [/mm] 2, 21 [mm] \equiv [/mm] 1 und -10 [mm] \equiv [/mm] 0 oder? Also $ [mm] \chi_A [/mm] = [mm] 4x^5 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + x $?
> Wie sind in einem Körper mit 5 Elementen. Es gibt also
> ganze 5 Kandidaten für die Nullstellen. Einfach alle
> Durchprobieren.
> ich wüßte nicht was noch einfacher sein könnte.
Ok, das geht hier noch relativ gut und schnell, aber in "größeren" Körpern? Aber ok, du schriebst ja bereits, dass es kein Verfahren gibt.
Viele Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ja, man kann das vereinfachen. Wie du vereinfachst versteh
> > ich aber nicht mal im Ansatz.
> > Man rediziert die Koeffizienten modulo 5.
>
> Ok, den ersten Fehler, den ich gemacht habe war auch [mm]x^5[/mm] zu
> "vereinfachen" das geht natürlich so nicht, ist mir klar.
> Aber bei dem Rest? Es ist doch -1 [mm]\equiv[/mm] 4, 6 [mm]\equiv[/mm] 1, -8
> [mm]\equiv[/mm] 2, 21 [mm]\equiv[/mm] 1 und -10 [mm]\equiv[/mm] 0 oder? Also [mm]\chi_A = 4x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x [/mm]?
naja, Du hattest
[mm] $\chi_A [/mm] = [mm] -x^5 [/mm] + [mm] 6x^4 [/mm] - [mm] 8x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] + 21x - 10$
zu
[mm] $\chi_A [/mm] $ = $ [mm] x^4 [/mm] $ + $ [mm] 2x^3 [/mm] $ + $ [mm] 2x^2 [/mm] $ + x + 1
umgeschrieben. Den Fehler mit dem [mm] $x^5$ [/mm] hast Du korrigiert, allerdings ist
$-10 [mm] \stackrel{5}{\equiv}1$ [/mm] (meine Notation für $-10 [mm] \equiv [/mm] 1$ mod [mm] $5\,$)
[/mm]
auch unsinnig.
Also:
[mm] $\chi_A [/mm] = [mm] -x^5 [/mm] + [mm] 6x^4 [/mm] - [mm] 8x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] + 21x - 10$
kannst Du zu
[mm] $\chi_A [/mm] = [mm] 4x^5 [/mm] + [mm] x^4 +2x^3 +2x^2 [/mm] + x$
umschreiben - das geht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
> Den Fehler mit dem [mm]x^5[/mm] hast Du korrigiert,
> allerdings ist
>
> [mm]-10 \stackrel{5}{\equiv}1[/mm] (meine Notation für [mm]-10 \equiv 1[/mm]
> mod [mm]5\,[/mm])
>
> auch unsinnig.
Nein. Die -1 kam nicht von der -10 sondern von der [mm] -x^5. [/mm] Aber das das Käse war, hatte ich ja schon erkannt. Hatte ja auch geschrieben, dass -10 [mm] \equiv [/mm] 0 ist. Dann hatte ich ja auch das gleiche Polynom wie du. Nullstellen müssten dann sein: 0, 1, 2 wobei 1 und 2 jeweils doppelte Nullstellen sind.
Aber trotzdem vielen Dank für deine Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Den Fehler mit dem [mm]x^5[/mm] hast Du korrigiert,
> > allerdings ist
> >
> > [mm]-10 \stackrel{5}{\equiv}1[/mm] (meine Notation für [mm]-10 \equiv 1[/mm]
> > mod [mm]5\,[/mm])
> >
> > auch unsinnig.
>
> Nein. Die -1 kam nicht von der -10 sondern von der [mm]-x^5.[/mm]
achso, das meintest Du an der Stelle, wo Du [mm] $-x^5$ [/mm] "vereinfachen" wolltest.
Mein Fehler, ich hab' nicht genau genug gelesen.
> Aber das das Käse war, hatte ich ja schon erkannt. Hatte
> ja auch geschrieben, dass -10 [mm]\equiv[/mm] 0 ist. Dann hatte ich
> ja auch das gleiche Polynom wie du. Nullstellen müssten
> dann sein: 0, 1, 2 wobei 1 und 2 jeweils doppelte
> Nullstellen sind.
Ich rechne es gleich nach, aber ich denke, dass das passen wird. Sollte
ich einen Fehler entdecken, melde ich mich nochmal.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Den Fehler mit dem [mm]x^5[/mm] hast Du korrigiert,
> > allerdings ist
> >
> > [mm]-10 \stackrel{5}{\equiv}1[/mm] (meine Notation für [mm]-10 \equiv 1[/mm]
> > mod [mm]5\,[/mm])
> >
> > auch unsinnig.
>
> Nein. Die -1 kam nicht von der -10 sondern von der [mm]-x^5.[/mm]
> Aber das das Käse war, hatte ich ja schon erkannt. Hatte
> ja auch geschrieben, dass -10 [mm]\equiv[/mm] 0 ist. Dann hatte ich
> ja auch das gleiche Polynom wie du. Nullstellen müssten
> dann sein: 0, 1, 2 wobei 1 und 2 jeweils doppelte
> Nullstellen sind.
da wird wohl doch noch etwas nicht stimmen, ich rechne:
[mm] [nomm]$4*4^5 [/mm] + [mm] 4^4 +2*4^3 +2*4^2 [/mm] + 4 =4550 [mm] \equiv [/mm] 0$ mod [mm] $5\,.$[/nomm]
[/mm]
Vergiss' es - da hatte ich wohl irgendwo einen Tippfehler im TR. ^^
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > > Den Fehler mit dem [mm]x^5[/mm] hast Du korrigiert,
> > > allerdings ist
> > >
> > > [mm]-10 \stackrel{5}{\equiv}1[/mm] (meine Notation für [mm]-10 \equiv 1[/mm]
> > > mod [mm]5\,[/mm])
> > >
> > > auch unsinnig.
> >
> > Nein. Die -1 kam nicht von der -10 sondern von der [mm]-x^5.[/mm]
> > Aber das das Käse war, hatte ich ja schon erkannt. Hatte
> > ja auch geschrieben, dass -10 [mm]\equiv[/mm] 0 ist. Dann hatte ich
> > ja auch das gleiche Polynom wie du. Nullstellen müssten
> > dann sein: 0, 1, 2 wobei 1 und 2 jeweils doppelte
> > Nullstellen sind.
>
> da wird wohl doch noch etwas nicht stimmen, ich rechne:
> [mm]4*4^5 + 4^4 +2*4^3 +2*4^2 + 4 =4550 \equiv 0[/mm] mod
> [mm]5[/mm]
Die Nullstellen sind vollkommen richtig, die Rechnung ist es nicht.
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Den Fehler mit dem [mm]x^5[/mm] hast Du korrigiert,
> > > > allerdings ist
> > > >
> > > > [mm]-10 \stackrel{5}{\equiv}1[/mm] (meine Notation für [mm]-10 \equiv 1[/mm]
> > > > mod [mm]5\,[/mm])
> > > >
> > > > auch unsinnig.
> > >
> > > Nein. Die -1 kam nicht von der -10 sondern von der [mm]-x^5.[/mm]
> > > Aber das das Käse war, hatte ich ja schon erkannt. Hatte
> > > ja auch geschrieben, dass -10 [mm]\equiv[/mm] 0 ist. Dann hatte ich
> > > ja auch das gleiche Polynom wie du. Nullstellen müssten
> > > dann sein: 0, 1, 2 wobei 1 und 2 jeweils doppelte
> > > Nullstellen sind.
> >
> > da wird wohl doch noch etwas nicht stimmen, ich rechne:
> > [mm]4*4^5 + 4^4 +2*4^3 +2*4^2 + 4 =4550 \equiv 0[/mm] mod
> > [mm]5[/mm]
>
> Die Nullstellen sind vollkommen richtig, die Rechnung ist
> es nicht.
das hatte ich doch eh schon korrigiert (keine Ahnung, was ich da falsch
in den TR getippt hatte).
Gruß,
Marcel
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> Hallo MaslanyFanclub,
>
> erst mal vielen Dank für deine Antwort.
>
> > Es geht hier nicht um die Endlichkeit des VR (die
> > Bezeichnung wird für endlich-dim. VR über beliebigen
> > Körpern verwendet) sondern um die Endlichkeit des
> > Grundkörpers.
>
> Ok, mein Fehler. Danke für das klar stellen.
> Grundsätzlich ist mir der Unterschied aber bewusst.
>
>
> > > [mm]\chi_A[/mm] = det [mm](\pmat{ x & -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
> > Die zweite Zeile passt nicht zur Angabe.
> > > = x * det [mm](\pmat{ x & 1 & 2 & -2 \\ 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
>
> Uups, ja, das war ein Tippfehler. Es muss natürlich
> lauten
>
> [mm]\chi_A[/mm] = det [mm](\pmat{ x & -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
> = (x-1) * det [mm](\pmat{ x & 1 & 2 & -2 \\ 1 & x-2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & x-1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & x-2 })[/mm]
>
> > Mal eine Frage: Was ist in den reellen Zahlen weniger
> > kompliziert als oben, dass du hier ohne dich zu beschweren
> > weiterrechnest?
>
> Ich beschwere mich ja nicht. Aber in der Regel sind bei uns
> die Übungs- bzw. Klausuraufgaben so gestellt, dass man es
> mit relativ handlichen Ausdrücken und Zahlen zu tun hat.
> Auch wenn dass, was handlich ist stark subjektiv ist, denke
> ich mir oft, dass ich etwas übersehen habe, wenn es über
> einen bestimmten Grad an Komplexität hinaus geht. Wenn ich
> mir dann später die Lösung anschaue, dann war das auch
> meist der Fall.
Wie gesagt du hast es in den reellen Zahlen ja auch irgendwie ausgerechnet. In [mm] $\mathbb F_5$ [/mm] hast du noch den zusätzlichen Vorteil nur 5 "Zahlen" zu haben.
Determinantenberechnung ist halt gern mal etwas nervig.
> > Ja, man kann das vereinfachen. Wie du vereinfachst versteh
> > ich aber nicht mal im Ansatz.
> > Man rediziert die Koeffizienten modulo 5.
>
> Ok, den ersten Fehler, den ich gemacht habe war auch [mm]x^5[/mm] zu
> "vereinfachen" das geht natürlich so nicht, ist mir klar.
> Aber bei dem Rest? Es ist doch -1 [mm]\equiv[/mm] 4, 6 [mm]\equiv[/mm] 1, -8
> [mm]\equiv[/mm] 2, 21 [mm]\equiv[/mm] 1 und -10 [mm]\equiv[/mm] 0 oder? Also [mm]\chi_A = 4x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x [/mm]?
So passts. Wobei du bei Darstellung des char. Polynoms dir das Leben schwer machst. In der Berechnung des char. Pol. ergibt sich (x-1) Als Faktor. Da Nullstellen gesucht sind, ist es kontraproduktiv des char. Polynom auszumultiplizieren. (egal über welchem Körper)
>
> > Wie sind in einem Körper mit 5 Elementen. Es gibt also
> > ganze 5 Kandidaten für die Nullstellen. Einfach alle
> > Durchprobieren.
> > ich wüßte nicht was noch einfacher sein könnte.
>
> Ok, das geht hier noch relativ gut und schnell, aber in
> "größeren" Körpern? Aber ok, du schriebst ja bereits,
> dass es kein Verfahren gibt.
Wo schreibe ich, dass es kein Verfahren gibt?
Es gibt auch in den reellen Zahlen kein Verfahren das Nullstellen generell berechnet. Da hast du unter Umständen gar keine Chance die nullstelle konkret zu finden, in den endlichen Körpern dagegen schon.
Es gibt kein algebraisches verfahren, dass in den rellen Zahlen funktionieren würde aber in endlichen Körpern nicht.
> Viele Grüße,
> Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
> Wie gesagt du hast es in den reellen Zahlen ja auch
> irgendwie ausgerechnet. In [mm]\mathbb F_5[/mm] hast du noch den
> zusätzlichen Vorteil nur 5 "Zahlen" zu haben.
> Determinantenberechnung ist halt gern mal etwas nervig.
Ja, nervig trifft den Nagel auf den Kopf. Und in der Klausur schleichen sich dann schnell mal Flüchtigkeitsfehler ein. Aber auch hier bei mir war irgendwo ein Fehler, den cih nicht gefunden habe, also habe ich die Matrix am Ende in den Taschenrechner eingegeben und der hat das char. Polynom ausgespuckt ;) Geht in der Klausur nur leider nicht, deswegen muss ich irgendwie ein Auge dafür entwickeln...
> Wobei du bei Darstellung des char. Polynoms dir
> das Leben schwer machst. In der Berechnung des char. Pol.
> ergibt sich (x-1) Als Faktor. Da Nullstellen gesucht sind,
> ist es kontraproduktiv des char. Polynom
> auszumultiplizieren. (egal über welchem Körper)
Ja, das ist mir bewusst. Lag hier halt daran, dass ich mich beim "zu Fuß" ausrechnen irgendwo verheddert habe und das Polynom vom Taschenrechner kam.
Na ja, sei es drum. Ich werde versuchen das Beste daraus zu machen und danke euch für eure Hilfestellung.
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