Eigenvektoren einer Drehmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich bin bei dieser Aufgabe echt hilflos.
Ich habe eine Drehmatrix in einem 2-dim. Raum gegeben
[mm] \pmat{ cos x & sinx \\ -sinx & cosx }
[/mm]
Ich soll jetzt alle x bestimmrn die in dem Intervall [0;2pi[ liegen, so dass die Matrix von oben einen eigenvektor besitzt.
Wenn man das charakteristische Polynom berechnet, wird es viel zu kompliziert, die Nullstellen zu berechnen.
Wie kann ich die x ansonsten berechnen?
Vielen Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Anschaulich ist die Aufgabe zunächst völlig klar.
Bei einer Drehung kann es offenbar keine Eigenvektoren geben, es sei denn man dreht nicht  (was bei $x=0$ der Fall ist oder um 180° (also bei [mm] $x=\pi$).
[/mm]
Jetzt zur "formalen Rechnung":
Es gilt:
[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] [\cos(x) [/mm] - [mm] t]^2 [/mm] + [mm] \sin(x)^2 [/mm] = [mm] \cos^2(x) [/mm] - [mm] 2t\cos(x) [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + [mm] \sin^2(x) [/mm] = 1- [mm] 2t\cos(x) [/mm] + [mm] t^2$.
[/mm]
Und jetzt schauen wir mal, wie die Nullstellen aussehen:
[mm] $t_{1,2} [/mm] = [mm] \cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x)-1}$.
[/mm]
Tja: Für alle $x [mm] \in [0,2\pi)$, [/mm] $x [mm] \notin \{0,\pi\}$ [/mm] steht unter der Wurzel was Negatives...
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
