Eigenvektoren berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Do 28.04.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gesucht sind die Eigenvektoren zu der Matrix:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Laut lösung soll für [mm] \lambda [/mm] = -1 der Eigenvektor [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1\\-1} [/mm] rauskommen
Ich bekomme aber den Vektor: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1} [/mm] raus.
Habe ich was falsch gemacht?
Könnt Ihr mal schauen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe?
Die berechneten Eigenwerte lauten:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -1
Nun berechne ich die Eigenvektoren.
Dazu nehme ich folgende Formel:
(A - [mm] E_{i})*x_{i} [/mm] = 0
Für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] = [mm] \pmat{-1&1\\1&-1}
[/mm]
Nun löse ich das LGS:
[mm] \pmat{-1&1\\1&-1} [/mm] //erste Zeile zu der zweiten addieren
[mm] \pmat{-1&1\\0&0}
[/mm]
Nun wird es interessant, denn ich bekomme eine Nullzeile und kann eine Variable frei wählen. Welche nimmt man denn immer?
Habe mich für [mm] x_{2} [/mm] entschieden.
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
In die erste Zeile eingesetzt:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Demnach ist der Eigenvektor [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1} [/mm]
Für [mm] \lambda_{2} [/mm] = -1:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] = [mm] \pmat{1&1\\1&1}
[/mm]
Nun löse ich das LGS:
[mm] \pmat{1&1\\1&1} [/mm] //erste Zeile negieren und zu der zweiten Zeile addieren
[mm] \pmat{1&1\\0&0}
[/mm]
[mm] x_{2}=\alpha
[/mm]
In die erste Zeile eingesetzt:
[mm] x_{1}= -\alpha
[/mm]
Daraus folgt: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1}
[/mm]
Komme nicht ganz auf die richtige Lösung.
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Gesucht sind die Eigenvektoren zu der Matrix:
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> Laut lösung soll für
> [mm]\lambda[/mm] = -1 der Eigenvektor [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1\\-1}[/mm] rauskommen
> Ich bekomme aber den Vektor: [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1}[/mm] raus.
>
> Habe ich was falsch gemacht?
Nein, Du hast nichts falsch gemacht.
> Könnt Ihr mal schauen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst
> habe?
>
> Die berechneten Eigenwerte lauten:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1
>
> Nun berechne ich die Eigenvektoren.
> Dazu nehme ich folgende Formel:
> (A - [mm]E_{i})*x_{i}[/mm] = 0
>
> Für [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] - [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] =
> [mm]\pmat{-1&1\\1&-1}[/mm]
> Nun löse ich das LGS:
> [mm]\pmat{-1&1\\1&-1}[/mm] //erste Zeile zu der zweiten addieren
> [mm]\pmat{-1&1\\0&0}[/mm]
>
> Nun wird es interessant, denn ich bekomme eine Nullzeile
> und kann eine Variable frei wählen. Welche nimmt man denn
> immer?
> Habe mich für [mm]x_{2}[/mm] entschieden.
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
> In die erste Zeile eingesetzt:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
>
> Demnach ist der Eigenvektor [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] + [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] =
> [mm]\pmat{1&1\\1&1}[/mm]
> Nun löse ich das LGS:
> [mm]\pmat{1&1\\1&1}[/mm] //erste Zeile negieren und zu der zweiten
> Zeile addieren
> [mm]\pmat{1&1\\0&0}[/mm]
>
>
> [mm]x_{2}=\alpha[/mm]
> In die erste Zeile eingesetzt:
> [mm]x_{1}= -\alpha[/mm]
> Daraus folgt: [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1}[/mm]
>
> Komme nicht ganz auf die richtige Lösung.
>
Du musst nicht unbedingt auf den in der Musterlösung
angegebenen Eigenvektor zu [mm]\lambda=-1[/mm] kommen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 28.04.2011 | | Autor: | zoj |
>Du musst nicht unbedingt auf den in der Musterlösung
>angegebenen Eigenvektor zu $ [mm] \lambda=-1 [/mm] $ kommen.
Warum nicht? Reicht es wenn man nur einen berechnet hat?
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> >Du musst nicht unbedingt auf den in der Musterlösung
> >angegebenen Eigenvektor zu [mm]\lambda=-1[/mm] kommen.
>
> Warum nicht? Reicht es wenn man nur einen berechnet hat?
>
Wenn Du einen Eigenvektor zu einem Eigenwert berechnet hast reicht das.
Hier wurden noch zusätzlich die Eigenvektoren normiert.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 28.04.2011 | | Autor: | zoj |
OK, danke für die Hilfe!
|
|
|
|
