Eigenvektoren berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 28.11.2006 | | Autor: | ScrapyI |
Hallo,
ich habe folgende Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0,4 \\ 0,4 & 1 }
[/mm]
Als Eigenwerte erhalte ich [mm] \lambda1=1,4 [/mm] und [mm] \lambda2=0,6.
[/mm]
Bei der Bestimmung der Eigenvektoren habe ich Problem.
Wenn ich für [mm] \lambda1=1,4 [/mm] einsetze, dann erhalte ich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ -0,4 & 0,4 \\ 0,4 & -0,4 } \* \vektor{c1 \\ c2} [/mm] = 0
Ich erhalte dann folgende Gleichungen:
I: -0,4c1 + 0,4c2=0
II: 0,4c1 - 0,4c2=0
Wenn ich mir diese Gleichungen so anschau, dann kann ich für c1 und c2 jede beliebige Zahl nehmen, wichtig ist nur, dass c1=c2.
Für [mm] \lambda2=0,6 [/mm] erhalte ich folgende Gleichungen:
I: 0,4c1 + 0,4c2 =0
II: 0,4c1 + 0,4c2 =0
Die Lösung ist folgende:
Eigenvektor 1= [mm] \vektor{0,707 \\ 0,707}
[/mm]
Eigenvektor 2= [mm] \vektor{0,707 \\ -0,707}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Vektoren? Wie gesagt, meiner Meinung nach, kann man ja jede Zahl nehmen. Oder hab ich einen wichtigen Schritt oder eine wichtige Bedingung übersehen?
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Hallo ScrapyI!
> ich habe folgende Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0,4 \\ 0,4 & 1 }[/mm]
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> Als Eigenwerte erhalte ich [mm]\lambda1=1,4[/mm] und [mm]\lambda2=0,6.[/mm]
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> Bei der Bestimmung der Eigenvektoren habe ich Problem.
> Wenn ich für [mm]\lambda1=1,4[/mm] einsetze, dann erhalte ich
> folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ -0,4 & 0,4 \\ 0,4 & -0,4 } \* \vektor{c1 \\ c2}[/mm] = 0
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> Ich erhalte dann folgende Gleichungen:
> I: -0,4c1 + 0,4c2=0
> II: 0,4c1 - 0,4c2=0
>
> Wenn ich mir diese Gleichungen so anschau, dann kann ich
> für c1 und c2 jede beliebige Zahl nehmen, wichtig ist nur,
> dass c1=c2.
>
> Für [mm]\lambda2=0,6[/mm] erhalte ich folgende Gleichungen:
> I: 0,4c1 + 0,4c2 =0
> II: 0,4c1 + 0,4c2 =0
>
> Die Lösung ist folgende:
> Eigenvektor 1= [mm]\vektor{0,707 \\ 0,707}[/mm]
> Eigenvektor 2=
> [mm]\vektor{0,707 \\ -0,707}[/mm]
>
> Wie kommt man auf diese Vektoren? Wie gesagt, meiner
> Meinung nach, kann man ja jede Zahl nehmen. Oder hab ich
> einen wichtigen Schritt oder eine wichtige Bedingung
> übersehen?
Wo kommt denn diese Lösung her? ![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du dir die Aufgabe mal berechnen lassen, und es kommen als Eigenvektoren für die erste [mm] \vektor{-1\\1} [/mm] raus und für die zweite [mm] \vektor{1\\1}. [/mm] Aber ist es nicht so, dass Vielfache von Eigenvektoren auch wieder Eigenvektoren sind? Zumindest in diesem Fall hier (oje - LA ist lange her bei mir und ich hab' alles vergessen...). Dann hast du nämlich mit deiner Lösung recht, und die angegebene Lösung ist auch ein Eigenvektor. Allerdings nur einer von vielen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Di 28.11.2006 | | Autor: | ScrapyI |
Vielen Dank für die Hilfe.
Die Lösung steht in unserem Buch (Stier: Empirische Forschungsmethoden).
Nach ewiglangem Rumüberlegen und Rumprobieren bin ich dann auch zu der Erkenntnis gekommen, dass man einen Vektor mit beliebigen Zahlen multiplizieren kann. Das Verhältnis zwischen den Zahlen muss halt stimmen.
Falls das nicht so stimmt, dann bitte ich um eine Korrektur.
Grüße,
ScrapyI
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> Hallo,
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> ich habe folgende Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0,4 \\ 0,4 & 1 }[/mm]
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> Als Eigenwerte erhalte ich [mm]\lambda1=1,4[/mm] und [mm]\lambda2=0,6.[/mm]
>
> Bei der Bestimmung der Eigenvektoren habe ich Problem.
> Wenn ich für [mm]\lambda1=1,4[/mm] einsetze, dann erhalte ich
> folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ -0,4 & 0,4 \\ 0,4 & -0,4 } \* \vektor{c1 \\ c2}[/mm] = 0
>
> Ich erhalte dann folgende Gleichungen:
> I: -0,4c1 + 0,4c2=0
> II: 0,4c1 - 0,4c2=0
>
> Wenn ich mir diese Gleichungen so anschau, dann kann ich
> für c1 und c2 jede beliebige Zahl nehmen, wichtig ist nur,
> dass c1=c2.
Hallo,
ja, und [mm] c_1=c_2 [/mm] sagt Dir, daß jeder Vektor der Gestalt [mm] \vektor{c_1 \\ c_1}=c_1\vektor{1 \\ 1} [/mm] Eigenvektor ist.
Z.B. wie von Bastiane für [mm] c_1=1 [/mm] der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
In Deinem Buch sind die normierten Eigenvektoren angegeben, also Eigenvektoren der Länge 1 in die entsprechende Richtung.
Normiert man [mm] \vektor{c_1 \\ c_1}, [/mm] so erhält man [mm] \bruch{1}{\wurzel{c_1^2+c_1^2}}\vektor{c_1 \\ c_1}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1}, [/mm] was der Vektor aus Deiner Lösung ist.
Daß das Vielfache eines Eigenvektors auch Eigenvektor ist, sieht man so:
Sei [mm] Ax=\lambda [/mm] x. Dann ist [mm] A(\alpha x)=\alpha Ax=\alpha \lambda x=\lambda (\alpha [/mm] x).
Gruß v. Angela
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