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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das charakteristische Polynom folgender Matrix über [mm] \IR [/mm] und finden Sie eine Basis, die A diagonalisiert: [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 0 } [/mm] |
Hallo ihr lieben,
da ich Dienstag meine Klausur in LA schreibe, übe ich wie ich Sachen formal aufschreibe.
Könnt ihr mir bitte sagen ob ich das hier formal alles richtig mache bei der Aufgabe oben?
========
[mm] P_{\gamma} [/mm] = det( X * Id - A )
[mm] P_{\gamma} [/mm] = det( [mm] (\pmat{ x & 0 \\ 0 & x } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}) [/mm] - [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 0} [/mm] )
[mm] P_{\gamma} [/mm] = det( [mm] \pmat{ x-3 & 1 \\ -2 & x } [/mm] )
[mm] P_{\gamma} [/mm] = ((x-3)*x) - (1*-2)
[mm] P_{\gamma} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] -3x +2
Nun bestimmen wir die Nullstellen, also die Eigenwerte, mit der PQ-Formel:
[mm] x_{1},x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{-3}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-3}{2})^{2}-2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 1
[mm] x_{2} [/mm] = 2
Nun bestimmen wir die Eigenvektoren, indem wir folgende Formel verwenden:
[mm] Eig(\gamma) [/mm] = ker( ( A - [mm] \gamma [/mm] * Id) )
Eig(1) = ker ( [mm] \pmat{2 & - 1 \\ 2 & -1} [/mm] )
Die untere Zeile fällt weg, dim(Eig(1)) = 1 bzw. dim(ker) = 1.
Also
Eig(1) = ker ( [mm] \pmat{2 & - 1 \\ 0 & 0} [/mm] )
[mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = r
= [mm] 2*x_{1} [/mm] - r = 0 [mm] \Rightarrow 2*x_{1} [/mm] = r.
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{r}{2}
[/mm]
Eigenvektor zu 1: [mm] v_{1} [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] 1)
bzw. auch
[mm] v_{1} [/mm] = ( 1, 2)
Nun berechnen wir die Norm zu [mm] v_{1}:
[/mm]
[mm] ||v_{1}|| [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+2^{2}}
[/mm]
[mm] ||v_{1}|| [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{5}}, \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
Analog dazu berechne ich den Eigenvektor zum zweiten Eigenwert.
Dies schreibe ich dann in T auf:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{2} }}, [/mm]
[mm] T^{-1} [/mm] * A * T = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
=====================================
Das war's :)
Hoffe ich habe keine Fehler gemacht.
Vielen Dank Euch im Voraus,
Steffi
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Hallo Steffi1988,
> Bestimmen Sie das charakteristische Polynom folgender
> Matrix über [mm]\IR[/mm] und finden Sie eine Basis, die A
> diagonalisiert: [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 0 }[/mm]
> Hallo ihr lieben,
> da ich Dienstag meine Klausur in LA schreibe, übe ich wie
> ich Sachen formal aufschreibe.
>
> Könnt ihr mir bitte sagen ob ich das hier formal alles
> richtig mache bei der Aufgabe oben?
>
> ========
>
> [mm]P_{\gamma}[/mm] = det( X * Id - A )
>
> [mm]P_{\gamma}[/mm] = det( [mm](\pmat{ x & 0 \\ 0 & x }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1})[/mm]
> - [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 0}[/mm] )
>
> [mm]P_{\gamma}[/mm] = det( [mm]\pmat{ x-3 & 1 \\ -2 & x }[/mm] )
Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm]P_{\gamma} = det\left(\pmat{ x-3 & \red{-1} \\ -2 & x }\right)[/mm]
>
> [mm]P_{\gamma}[/mm] = ((x-3)*x) - (1*-2)
>
> [mm]P_{\gamma}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] -3x +2
>
> Nun bestimmen wir die Nullstellen, also die Eigenwerte, mit
> der PQ-Formel:
>
> [mm]x_{1},x_{2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{-3}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-3}{2})^{2}-2}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = 1
> [mm]x_{2}[/mm] = 2
>
> Nun bestimmen wir die Eigenvektoren, indem wir folgende
> Formel verwenden:
>
> [mm]Eig(\gamma)[/mm] = ker( ( A - [mm]\gamma[/mm] * Id) )
>
> Eig(1) = ker ( [mm]\pmat{2 & - 1 \\ 2 & -1}[/mm] )
>
> Die untere Zeile fällt weg, dim(Eig(1)) = 1 bzw. dim(ker) =
> 1.
>
> Also
>
> Eig(1) = ker ( [mm]\pmat{2 & - 1 \\ 0 & 0}[/mm] )
>
> [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] = r
>
> = [mm]2*x_{1}[/mm] - r = 0 [mm]\Rightarrow 2*x_{1}[/mm] = r.
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{r}{2}[/mm]
>
> Eigenvektor zu 1: [mm]v_{1}[/mm] = ( [mm]\bruch{1}{2},[/mm] 1)
> bzw. auch
>
> [mm]v_{1}[/mm] = ( 1, 2)
>
> Nun berechnen wir die Norm zu [mm]v_{1}:[/mm]
>
> [mm]||v_{1}||[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+2^{2}}[/mm]
> [mm]||v_{1}||[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{5}}, \bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> Analog dazu berechne ich den Eigenvektor zum zweiten
> Eigenwert.
>
> Dies schreibe ich dann in T auf:
>
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{2} }},[/mm]
>
> [mm]T^{-1}[/mm] * A * T = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> =====================================
>
> Das war's :)
>
> Hoffe ich habe keine Fehler gemacht.
Der Fehler ist Dir bei der Bestimmung des charakteristische Polynoms unterlaufen.
Formal ist alles korrekt.
>
> Vielen Dank Euch im Voraus,
>
> Steffi
>
>
Gruß
MathePower
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>>Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
>>[mm]P_{\gamma} = det\left(\pmat{ x-3 & \red{-1} \\ -2 & x }\right)[/mm]
Ou, da hab ich wohl falsch von meinem Blatt abgeschrieben 
Was mich persönlich noch verunsichert ist folgendes:
> Nun berechnen wir die Norm zu [mm]v_{1}:[/mm]
>
> [mm]||v_{1}||[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+2^{2}}[/mm]
> [mm]||v_{1}||[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{5}}, \bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
Die letzte Zeile.
Kann ich das wirklich so stehen lassen?
Oder soll ich nicht dazu schreiben normierter Vektor von [mm] v_{1}: [/mm] ....
sowie .....
Lg und danke sehr
steffi
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Hallo Steffi1988,
> >>Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
> >>[mm]P_{\gamma} = det\left(\pmat{ x-3 & \red{-1} \\ -2 & x }\right)[/mm]
>
> Ou, da hab ich wohl falsch von meinem Blatt abgeschrieben
>
>
>
> Was mich persönlich noch verunsichert ist folgendes:
>
> > Nun berechnen wir die Norm zu [mm]v_{1}:[/mm]
> >
> > [mm]||v_{1}||[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+2^{2}}[/mm]
> > [mm]||v_{1}||[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{5}}, \bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> Die letzte Zeile.
> Kann ich das wirklich so stehen lassen?
> Oder soll ich nicht dazu schreiben normierter Vektor von
> [mm]v_{1}:[/mm] ....
> sowie .....
>
Ja, das ist besser: [mm]\vmat{\vmat{v_{1}}} \ = \ \dots \ , \ \vmat{\vmat{v_{2}}} \ = \ \dots[/mm]
>
> Lg und danke sehr
> steffi
>
Gruß
MathePower
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Kann ich doch nicht :)
Weil:
bestimmen der Norm:
[mm] ||v_{1}|| [/mm] = [mm] \wurzel{5} [/mm] (von Vektor (1,2))
[mm] ||v_{2}|| [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] (von Vektor (1,1))
Wenn ich diese nun Normiere habe ich zum schluss 4 Stück...
Und mein Problem ist nun wie ich diese formal beschrifte :)
Aus [mm] v_{1} [/mm] erhalte ich ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] sowie [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
Aus [mm] v_{2} [/mm] erhalte ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] sowie [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Dankeschön
steffi
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Hallo,
mal vorweg:
um die Aufgabe so, wie sie gestellt ist, richtig zu lösen, brauchst Du die Eigenvektoren überhaupt nicht zu normieren, denn es ist ja lediglich gefordert, daß Du eine Basis angibst, kein Wort v. Einheitsbasis.
Wenn ich Dich recht verstehe, hast Du lediglich das Problem, wie Du das mit der Nomierung aufschreibst.
Am bestem so, daß man es verstehen kann... Du kannst doch auch erklärende Worte verwenden.
"Ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist [mm] v_1=\vektor{1 \\ 2}, [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist [mm] v_2=\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
Mit [mm] (v_1, v_2) [/mm] habe ich eine Basis aus Eigenvektoren gefunden.
Da ich eine Einheitsbasis angeben möchte, normiere ich die beiden Vektoren:
[mm] w_1:=\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{1 \\ 2}=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}}}
[/mm]
und
[mm] w_2:=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1}=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
bilden eine Einheitsbasis.
Mit der Transformationsmatrix T:=$ [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{2} }} [/mm] $
erhält man
$ [mm] T^{-1} [/mm] $ * A * T = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] $.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen lieben Dank für Deinen Beitrag.
Verstehe es nun :)
Was mich aber jetzt ein wenig unsicher macht ist die berehnung der Orthonormalbasis...
Du sagst ich brauche diese nicht herauszufinden.
Somit ist auch keine Normierung der Vektoren erforderlich.
Wenn ich dies aber niht mache habe ich bei meiner Transformationsmatrix keine Brüche...
Weiß nicht wie ich es umschreiben soll, hoffe Du weißt was ich meine
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> Was mich aber jetzt ein wenig unsicher macht ist die
> berehnung der Orthonormalbasis...
>
> Du sagst ich brauche diese nicht herauszufinden.
Hallo,
ich habe das gesagt, weil in der Aufgabenstellung weder nach einer Basis, die ortho (zueinander senkrechte Basisvektoren) noch nach einer, die normal (normierte Basisvektoren) ist, gefragt wird,
Wenn dies ausdrücklich gefordert ist, mußt Du es natürlich liefern. Aber ohne Not?
Allerdings hättest Du bei dieser Aufgabe ein echtes Problem, wenn nach einer Orthonnormalbasis bzgl. welcher die Abbildungsmatrix eine Diagonalmatrix ist, gefragt wäre. Das ginge nämlich gar nicht, denn die Eigenvektoren zu 1 und 2 sind ja gar nicht orthogonal.
> Somit ist auch keine Normierung der Vektoren
> erforderlich.
>
> Wenn ich dies aber niht mache habe ich bei meiner
> Transformationsmatrix keine Brüche...
Hm. Findest Du Brüche so anziehend? Ich bin immer froh, wenn ich keine habe.
Nochmal der Deutlichkeit halber: natürlich ist es nicht verkehrt, zu normieren. Lt. Aufgabenstellung muß man es nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
würde ich also nicht normieren würde ich einfach in die Matrix am Ende
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 1} [/mm] schreiben?
Sofern ja,
gilt dann immer noch
T * A * [mm] T^{-1} [/mm] = Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale?
Bin nur verwirrt, weil der Übungsleiter nachdem er dort stehen hatte (für den Eigenwert 1)
[mm] 2x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
direkt schrieb:
[mm] \Rightarrow (x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{(1,2)}{\wurzel{5}}
[/mm]
Hier hat er hat dann aber auch normiert obwohl dies nicht nötig war, korrekt?
Liebe Grüße und Danke für Deine Geduld,
Steffi
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> Hallo Angela,
>
> würde ich also nicht normieren würde ich einfach in die
> Matrix am Ende
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 1}[/mm] schreiben?
>
> Sofern ja,
>
> gilt dann immer noch
>
> T * A * [mm]T^{-1}[/mm] = Matrix mit den Eigenwerten auf der
> Diagonale?
Hallo,
probier's aus!
Aber lieber so: [mm] T^{-1}AT.
[/mm]
>
> Bin nur verwirrt, weil der Übungsleiter nachdem er dort
> stehen hatte (für den Eigenwert 1)
> [mm]2x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
> direkt schrieb:
>
> [mm]\Rightarrow (x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]\bruch{(1,2)}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> Hier hat er hat dann aber auch normiert obwohl dies nicht
> nötig war, korrekt?
Ich weiß ja nicht, wie Eure Aufgabe genau lautete bzw. was der Ü-Leiter gesprochen hat, während er schrieb.
Wenn die Aufgabe wirklich so war, wie Du sie oben aufgeschrieben hast, war's überflüssig.
(Vielleicht normiert er vollautomatisch, weil so oft normiert werden muß.)
> Liebe Grüße und Danke für Deine Geduld,
Gern geschehen.
Gruß v. Angela
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Hallo liebe Angela,
erneut vielen Dank für Deinen Beitrag.
Also wenn ich
[mm] T^{-1} [/mm] * A * T rechne erhalte ich
[mm] \pmat{-3 & -2 \\ 8 & 6}
[/mm]
Kann ich dem entnehmen, dass es NICHT möglich ist [mm] T^{-1}*A*T [/mm] zu rechnen wenn ich die Vektoren nicht normiert habe?
Liebe Grüße
Steffi
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> Kann ich dem entnehmen, dass es NICHT möglich ist
> [mm]T^{-1}*A*T[/mm] zu rechnen wenn ich die Vektoren nicht normiert
> habe?
Hallo,
nein, das kannst Du nicht.
Wenn v ein Eigenvektor einer Matrix ist, als [mm] Av=\lambda [/mm] v, dann ist jedes von Null verschiedene Vielfache doch auch ein Eigenvektor:
[mm] A(kv)=k(Av)=\lambda [/mm] (kv).
Deshalbe spielt es für die Basis, die Du suchen sollst, keine Rolle, ob die Vektoren normiert sind, oder nicht.
Das Problem liegt ganz am Anfang: es stimmt das charakteristische Polynom nicht - oder die hier abgetippte Startmatrix ist eine andere als in der Übung.
Du hast das charakteristische Polynom von $ [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 2 & 0 } [/mm] $ berechnet, und offensichtlich auch bei der Bestimmung der Eigenvektoren mit dieser weitergerechnet.
Wenn Du [mm] T^{-1} \pmat{ 3 & -1 \\ 2 & 0 }T [/mm] berechnest, klappt das ganz fantastisch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 30.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Danke sehr,
nun blicke ich endlich durch und mir ist alles klar.
Viiiiiielen Dank :)
Steffi
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