Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich hab ein Problem bei der Berechnung von Eigenvektoren.
Die Angabe lautet Bestimmen sie eine orthogonale Matrix S,sodass S^-1 [mm] \pmat{ 0& 1&0 \\ 1 & 0&0\\0&0&-1 } [/mm] S eine Diagonalmatrix ist.
ich habe mir gedacht ich berechne aus der Matrix [mm] \pmat{ 0& 1&0 \\ 1 & 0&0\\0&0&-1 } [/mm] die Eigenwerte und Eigenvektoren ,orthonormiere die Eigenvektoren und habe die MAtrix S.
Die Eigenwerte stimmen noch mit [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2,3 [/mm] =-1
Wenn ich mir nun den Eigenvektor für [mm] \lambda_1 [/mm] ausrechne erhalte ich ja folgendes GLS
-x+y=0
x-y=0
-2z=0 Dann würde ich auf z=0 kommen und die anderen sind ja unbestimmt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Ich hab ein Problem bei der Berechnung von Eigenvektoren.
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> Die Angabe lautet Bestimmen sie eine orthogonale Matrix
> S,sodass S^-1 [mm]\pmat{ 0& 1&0 \\ 1 & 0&0\\0&0&-1 }[/mm] S eine
> Diagonalmatrix ist.
>
> ich habe mir gedacht ich berechne aus der Matrix [mm]\pmat{ 0& 1&0 \\ 1 & 0&0\\0&0&-1 }[/mm]
> die Eigenwerte und Eigenvektoren ,orthonormiere die
> Eigenvektoren und habe die MAtrix S.
>
> Die Eigenwerte stimmen noch mit [mm]\lambda_1=1[/mm] und [mm]\lambda_2,3[/mm]
> =-1
>
> Wenn ich mir nun den Eigenvektor für [mm]\lambda_1[/mm] ausrechne
> erhalte ich ja folgendes GLS
>
> -x+y=0
> x-y=0
> -2z=0 Dann würde ich auf z=0 kommen und die anderen sind
> ja unbestimmt
Wo ist jetzt DEin Problem ?
Eine Basis des zu [mm] \lambda_1 [/mm] geh. Eigenraumes ist [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Weil mir halt der TR etwas anderes sagt drum bin ich verwirrt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Weil mir halt der TR etwas anderes sagt drum bin ich
> verwirrt
Für das LGS
-x+y=0
x-y=0
-2z=0
braucht man doch keinen TR !
Es lautet einfach:
x=y und z=0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
ja stimmt ,ich wollte nur nachprüfen.
Für [mm] \lambda_2,3 [/mm] =-1 erhalte ich die Eigenvektoren [mm] \vektor{-1 \\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1\\0}
[/mm]
also bekomme ich als orthonomierte Vektoren: [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> ja stimmt ,ich wollte nur nachprüfen.
>
> Für [mm]\lambda_2,3[/mm] =-1 erhalte ich die Eigenvektoren
> [mm]\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm]
Der zweite Vektor ist doch der gleiche wie der erste !!!?
FRED
>
> also bekomme ich als orthonomierte Vektoren:
> [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Passt es so vielleicht?
Für [mm]\lambda_2,3[/mm] =-1 erhalte ich die Eigenvektoren
> > [mm]\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\- 1\\0}[/mm]
>
>
> > also bekomme ich als orthonomierte Vektoren:
> > [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0}[/mm]
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> > > Für [mm]\lambda_2,3[/mm] =-1 erhalte ich die Eigenvektoren
> > > [mm]\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm]
> >
> > Der zweite Vektor ist doch der gleiche wie der erste !!!?
> >
> Das sind doch dieselben Eigenvektoren!
Eben !!!! Der zu [mm]\lambda_2,3[/mm] =-1 geh. Eigenraum ist zweidimensional !
FRED
>
> > > also bekomme ich als orthonomierte Vektoren:
> > > [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0} \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\0}[/mm]
> > >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
okay danke
Habe ich richtig orthonormiert,bin mir da nicht so sicher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay danke
>
> Habe ich richtig orthonormiert,bin mir da nicht so sicher
Mein Gott ! Jetzt berechne doch erstmal eine (korrekte) Basis des zu zu $ [mm] \lambda_2,3 [/mm] $ =-1 geh. Eigenraumes !
Dann sehen wir weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
[mm] \vektor{-1 \\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] für [mm] \lambda_2,3
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ -1\\0}[/mm] für
> [mm]\lambda_2,3[/mm]
Nein. Obige Vektoren sind linear abhängig.
Rechne nochmal ganz von vorn.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich verstehe das nicht für [mm] \lambda_2,3=-1 [/mm] erhalte ich beide Male dasselbe GLS
x+y=0
x+y=0
z=0
x=y
x=y somit x=-y x=-1 und y=1 für die Eigenwerte [mm] \lambda_2,3
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe das nicht für [mm]\lambda_2,3=-1[/mm] erhalte ich
> beide Male dasselbe GLS
>
> x+y=0
> x+y=0
Das stimmt.
> z=0
Das stimmt nicht.
z ist frei wählbar ! Schreib das LGS doch mal hin, dann siehst Du, dass z.B. [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 1} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist.
FRED
>
> x=y
> x=y somit x=-y x=-1 und y=1 für die Eigenwerte
> [mm]\lambda_2,3[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
[mm] \pmat{ 1 & 1&0 \\ 1 & 1&0\\0&0&0 }*\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 0\\0}
[/mm]
und warum soll nun z frei wählbar sein das is doch eindeutig 0??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\pmat{ 1 & 1&0 \\ 1 & 1&0\\0&0&0 }*\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 0\\0}[/mm]
>
> und warum soll nun z frei wählbar sein das is doch
> eindeutig 0??
Nein ! Schau doch genau hin ! Die einzige Bedingung die [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] erfüllen muß, um obiges LGS zu lösen, ist y=-x. Also sind [mm] \vektor{x \\ -x\\z} [/mm] genau die Vektoren, die obiges LGS lösen. Dabei kann x sein, was es will und z ebenso.
Ist [mm] \vektor{x \\ -x\\z} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -1, so muß natürlich x [mm] \ne [/mm] 0 sein oder z [mm] \ne [/mm] 0 sein.
Wie lautet nun eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert -1 ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
aso also gibt es mehrere Möglichkeiten
[mm] \vektor{-1\\ 1\\0} [/mm] oder [mm] \vektor{-1\\ 1\\1} [/mm] oder [mm] \vektor{-1\\ 1\\2}
[/mm]
Welchen ihc mir aussuche wird wohl egal sein denke ich aber 2 von meinen 3 Eigenvektoren sind auf jeden Fall gleich .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> aso also gibt es mehrere Möglichkeiten
>
> [mm]\vektor{-1\\ 1\\0}[/mm] oder [mm]\vektor{-1\\ 1\\1}[/mm] oder
> [mm]\vektor{-1\\ 1\\2}[/mm]
>
> Welchen ihc mir aussuche wird wohl egal sein denke ich aber
> 2 von meinen 3 Eigenvektoren sind auf jeden Fall gleich .
>
??????
Das ist mühsamm. Für eine Basis zum Eigenwert -1 sucht man sich natürlich möglichst einfache Eigenvektoren. Eine Basis wäre z.B.
[mm] \{\vektor{-9876,12345678543\\ 9876,12345678543\\1234567,1000000000000000000000000000023456789}, \vektor{0\\ 0\\-0,000000000000000000000000000000000987654321} \}.
[/mm]
Wer die nimmt hat einen Dachschaden.
Eine andere wäre
[mm] \{\vektor{1\\ -1\\0}, \vektor{0\\ 0\\1} \}.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Di 03.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Dankeschön habe es verstanden!
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